Em que altitude acima da superfície da Terra a aceleração em quedalivre é igual a 7,35 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a altitude h acima da superfície da Terra em que a aceleração da gravidade é igual a \,7,35\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Para isso vamos usar como conhecidos a aceleração ao nível do mar \,g_{0}\approx9,80\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e o raio médio da Terra \,R\approx6,37\times10^{6}\mathrm{m}.

Passo 2

A teoria que aplicamos é a lei da gravitação universal, que dá a aceleração gravitacional a uma distância r do centro da Terra por
g(r)=\frac{G\,M}{r^{2}}.
Acima de uma altitude h, a distância ao centro é r=R+h. Como no nível do mar temos
g_{0}=\frac{G\,M}{R^{2}},
podemos escrever
g(h)=g_{0}\biggl(\frac{R}{R+h}\biggr)^{2}.

Passo 3

Para encontrar h, igualamos g(h)=7,35\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e isolamos:
\frac{g(h)}{g_{0}} =\biggl(\frac{R}{R+h}\biggr)^{2},
\frac{R}{R+h} =\sqrt{\frac{g(h)}{g_{0}}},
R+h =\frac{R}{\sqrt{\frac{g(h)}{g_{0}}}},
h =R\Biggl(\frac{1}{\sqrt{\frac{g(h)}{g_{0}}}}-1\Biggr).

Passo 4

Substituindo numericamente:
\frac{g(h)}{g_{0}} =\frac{7,35}{9,80}=0,75,
\sqrt{0,75}\approx0,8660,
\frac{1}{0,8660}-1\approx0,1547,
h =6,37\times10^{6}\mathrm{m}\times0,1547 \approx9,85\times10^{5}\mathrm{m}.

Resposta

h\approx9,85\times10^{5}\mathrm{m}\approx985\mathrm{km}.

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