4^{\text {a }} Questão: Jorge, tentando encontrar a derivada de ordem 2025 da função g(x)=\operatorname{sen} x, observou que:
  • 1^{\underline{a}} derivada: g^{\prime}(x)=\cos x
  • 2^{\underline{a}} derivada: g^{\prime \prime}(x)=-\operatorname{sen} x
  • 3^{\underline{\mathrm{a}}} derivada: g^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x
  • 4^{\text {a }} derivada: g^{(4)}(x)=\operatorname{sen} x, que equivale a não derivar!
  • 5^{\underline{a}} derivada: g^{(5)}(x)=\cos x, que equivale à 1^{\underline{a}} derivação!
Jorge observou que está ocorrendo a seguinte “lei de formação”:
  • Não derivar =4^{\underline{a}} derivação =8^{\underline{a}} derivação =\ldots=\operatorname{sen} x.
  • 1^{\underline{a}} derivada =5^{\underline{a}} derivação =9^{\underline{a}} derivação =\ldots=\cos x.
  • 2^{\underline{\mathrm{a}}} derivada =6^{\underline{\mathrm{a}}} derivação =10^{\underline{\mathrm{a}}} derivação =\ldots=- senx .
  • 3^{\underline{a}} derivada =7^{\underline{a}} derivação =11^{\underline{a}} derivação =\ldots=-\cos \mathrm{x}.
Desta feita, para descobrir a derivada de ordem 2025 de \mathrm{g}(\mathrm{x})=\operatorname{sen} x, Jorge só precisa encont o resto da divisão de 2025 por 4. Logo…
a) g^{(2025)}(x)=\operatorname{sen} x
b) g^{(2025)}(x)=\cos x
c) g^{(2025)}(x)=-\operatorname{sen} x
d) g^{(2025)}(x)=-\cos x

Passo 1

O enunciado pede a 2025ª derivada da função g(x)=\sin x. Sabemos da teoria que as derivadas de \sin x formam um ciclo de período 4. Para resolver, precisaremos usar aritmética modular, ou seja, encontrar o resto da divisão de 2025 por 4.

Passo 2

Vamos listar as primeiras quatro derivadas de \sin x e ver o padrão cíclico: \sin x \xrightarrow{\text{1ª derivada}} \cos x \xrightarrow{\text{2ª derivada}} -\sin x \xrightarrow{\text{3ª derivada}} -\cos x \xrightarrow{\text{4ª derivada}} \sin xªªªª.
Isso mostra que
g^{(n)}(x)= \begin{cases} \sin x, &\text{se }n\equiv 0\pmod{4},\\\ \cos x, &\text{se }n\equiv 1\pmod{4},\\\\ -\sin x,&\text{se }n\equiv 2\pmod{4},\\\\ -\cos x,&\text{se }n\equiv 3\pmod{4}. \end{cases}

Passo 3

Calculamos o resto da divisão de 2025 por 4:
2025 \div 4 = 506\text{ com resto }1,
ou seja,
2025\equiv 1\pmod{4}.

Passo 4

Como 2025\equiv 1\pmod{4}, aplicamos a regra do ciclo e obtemos
g^{(2025)}(x)=\cos x.

Resposta

b) g^{(2025)}(x)=\cos x

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