3ª Questão: Para resolver o seguinte problema “ar está vazando de um balão de formato esférico a uma taxa de
, qual a taxa de variação do raio quando este for de 1,2
- supondo formato esférico ainda mantido?” um professor pediu que um discente indicasse o passo a passo para a solução do referido problema.
Estudante argumentou que:
i) Taxa de
significa que a derivada do volume
em relação ao tempo ( t ) é
. Ou seja:
ii) Sendo R a medida do raio, então o problema quer saber quem é
quando
(deixando tudo na mesma unidade).
iii) Por fim, derivar ambos os membros da igualdade (atrelada à fórmula do volume da esfera) em relação à variável tempo:
iv) Derivando e simplificando (antes de substituir valores…)
o professor interrompeu discente indicando que havia um equívoco em uma das quatro “passagens”. Em qual item está o equívoco?
a) No
item está o equívoco. Com efeito, se ar está vazando, então a taxa deve ser negativa.
b) No
item está o equívoco. Pois
.
c) No
item está o equívoco. Dado que a fórmula é para ser
.
d) No
item está o equívoco. Em virtude da derivação, da expressão, ser
Estudante argumentou que:
i) Taxa de
iii) Por fim, derivar ambos os membros da igualdade (atrelada à fórmula do volume da esfera) em relação à variável tempo:
a) No
b) No
c) No
d) No
Passo 1
Resumindo o enunciado: um balão esférico está perdendo ar a uma taxa de
e queremos achar a taxa de variação do raio, isto é
, quando
(ou seja
). O conteúdo é “taxas relacionadas” e vamos usar a fórmula do volume da esfera e derivar em relação ao tempo.
Passo 2
Analisando o item (i): o estudante escreveu
Porém, como o volume está diminuindo (o ar está vazando), a taxa de variação do volume deve ser negativa. Logo, o correto seria
O item (i) é equivocado no sinal da derivada.
Passo 3
Verificando o item (ii): o estudante converteu
o que está correto.
Passo 4
Verificando o item (iii): ele simplesmente aplicou a derivada em ambos os lados de
escrevendo
o que também está correto.
Passo 5
Verificando o item (iv): ao derivar obteve
que é a fórmula certa para a derivada do volume de uma esfera em função do tempo.
Resposta
(a) No
item está o equívoco. Com efeito, se o ar está vazando, então a taxa de
deve ser negativa.