3ª Questão: Para resolver o seguinte problema “ar está vazando de um balão de formato esférico a uma taxa de 1,2 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}, qual a taxa de variação do raio quando este for de 1,2 \boldsymbol{m} - supondo formato esférico ainda mantido?” um professor pediu que um discente indicasse o passo a passo para a solução do referido problema.
Estudante argumentou que:
i) Taxa de 1,2 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min} significa que a derivada do volume (V) em relação ao tempo ( t ) é 1,2 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Ou seja:
\frac{d V}{d t}=1,2
ii) Sendo R a medida do raio, então o problema quer saber quem é \mathbf{d R} / \mathbf{d t} quando \mathrm{R}= 1,2 \mathrm{~m}=120 \mathrm{~cm} (deixando tudo na mesma unidade).
iii) Por fim, derivar ambos os membros da igualdade (atrelada à fórmula do volume da esfera) em relação à variável tempo:
V=\frac{4}{3} \pi R^{3} \therefore \frac{d}{d t}(V)=\frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi R^{3}\right)
iv) Derivando e simplificando (antes de substituir valores…)
\frac{d V}{d t}=4 \pi R^{2} \cdot \frac{d R}{d t}
o professor interrompeu discente indicando que havia um equívoco em uma das quatro “passagens”. Em qual item está o equívoco?
a) No 1^{\underline{\circ}} item está o equívoco. Com efeito, se ar está vazando, então a taxa deve ser negativa.
b) No 2^{2} item está o equívoco. Pois 1,2 \mathrm{~m}=12 \mathrm{~cm}.
c) No 3^{\circ} item está o equívoco. Dado que a fórmula é para ser 4 \pi R^{2}.
d) No 4^{\circ} item está o equívoco. Em virtude da derivação, da expressão, ser \mathbf{d V} / \mathbf{d t}= \mathbf{4} \boldsymbol{\pi} \mathbf{R}^{\mathbf{3}} \cdot \mathbf{d R} \boldsymbol{/} \mathbf{d t}

Passo 1

Resumindo o enunciado: um balão esférico está perdendo ar a uma taxa de 1,2 \mathrm{cm^3/min} e queremos achar a taxa de variação do raio, isto é \tfrac{dR}{dt}, quando R=1,2 \mathrm m (ou seja 120 \mathrm{cm}). O conteúdo é “taxas relacionadas” e vamos usar a fórmula do volume da esfera e derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Analisando o item (i): o estudante escreveu
\frac{dV}{dt} = 1,2.
Porém, como o volume está diminuindo (o ar está vazando), a taxa de variação do volume deve ser negativa. Logo, o correto seria
\frac{dV}{dt} = -1,2.
O item (i) é equivocado no sinal da derivada.

Passo 3

Verificando o item (ii): o estudante converteu
R = 1,2\\ \mathrm m = 120\\ \mathrm{cm},
o que está correto.

Passo 4

Verificando o item (iii): ele simplesmente aplicou a derivada em ambos os lados de
V = \frac{4}{3}\,\pi R^3,
escrevendo
\frac{d}{dt}(V) = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{4}{3}\pi R^3\Bigr),
o que também está correto.

Passo 5

Verificando o item (iv): ao derivar obteve
\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2\;\frac{dR}{dt},
que é a fórmula certa para a derivada do volume de uma esfera em função do tempo.

Resposta

(a) No 1^{\underline{\circ}} item está o equívoco. Com efeito, se o ar está vazando, então a taxa de dV/dt deve ser negativa.

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