Do alto de um plano inclinado (inclinação \theta ) são abandonados dois elementos; (A) uma esfera de raio R e massa M e (B) uma casca cilíndrica também de massa M e raio R. (a) Qual a velocidade com que cada uma atinge a base do plano? Compare as velocidades. (b) Qual é o tempo gasto por cada elemento para atingir a base? O tempo depende de quais variáveis?
Passo 1
O enunciado diz que duas peças idênticas em massa M e raio R rolam sem deslizar a partir do repouso no alto de um plano inclinado de ângulo \theta e comprimento d: (A) uma esfera sólida com momento de inércia I_A=\tfrac{2}{5}MR^2 e (B) uma casca cilíndrica com I_B=MR^2. Precisamos usar conservação de energia (ou então equações de dinâmica de rolamento) para achar (a) a velocidade final de cada uma na base e compará-las, e (b) o tempo de descida em função das variáveis do problema.
Passo 2
Aplicando conservação de energia: a energia potencial inicial Mgh (com h=d\sin\theta) vira energia cinética de translação mais rotação:
M g\,d\sin\theta \;=\;\tfrac12 M v^2 \;+\;\tfrac12 I\,\omega^2,
e, como rolam sem deslizar, \omega=v/R. Substituindo:
M g\,d\sin\theta = \tfrac12 M v^2 + \tfrac12 I\,\frac{v^2}{R^2} = \tfrac12 M v^2\Bigl(1 + \frac{I}{M R^2}\Bigr).
Logo a velocidade geral ao final vale
v = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{1 + \dfrac{I}{M R^2}}}.