Do alto de um plano inclinado (inclinação \theta ) são abandonados dois elementos; (A) uma esfera de raio R e massa M e (B) uma casca cilíndrica também de massa M e raio R. (a) Qual a velocidade com que cada uma atinge a base do plano? Compare as velocidades. (b) Qual é o tempo gasto por cada elemento para atingir a base? O tempo depende de quais variáveis?

Passo 1

O enunciado diz que duas peças idênticas em massa M e raio R rolam sem deslizar a partir do repouso no alto de um plano inclinado de ângulo \theta e comprimento d: (A) uma esfera sólida com momento de inércia I_A=\tfrac{2}{5}MR^2 e (B) uma casca cilíndrica com I_B=MR^2. Precisamos usar conservação de energia (ou então equações de dinâmica de rolamento) para achar (a) a velocidade final de cada uma na base e compará-las, e (b) o tempo de descida em função das variáveis do problema.

Passo 2

Aplicando conservação de energia: a energia potencial inicial Mgh (com h=d\sin\theta) vira energia cinética de translação mais rotação:
M g\,d\sin\theta \;=\;\tfrac12 M v^2 \;+\;\tfrac12 I\,\omega^2,
e, como rolam sem deslizar, \omega=v/R. Substituindo:
M g\,d\sin\theta = \tfrac12 M v^2 + \tfrac12 I\,\frac{v^2}{R^2} = \tfrac12 M v^2\Bigl(1 + \frac{I}{M R^2}\Bigr).
Logo a velocidade geral ao final vale
v = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{1 + \dfrac{I}{M R^2}}}.

Passo 3

Agora especializamos para cada objeto:
1. Esfera sólida (A): I_A=\tfrac{2}{5}MR^2
v_A = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{1 + \tfrac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{7/5}} = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,d\sin\theta}.
2. Casca cilíndrica (B): I_B=MR^2
v_B = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{1 + 1}} = \sqrt{\frac{2\,g\,d\sin\theta}{2}} = \sqrt{g\,d\sin\theta}.
Comparando, como \tfrac{10}{7}>1, obtemos
v_A > v_B,
isto é, a esfera chega mais rápida.

Passo 4

Para o tempo usamos que a aceleração ao longo do plano é constante e vale
a = \frac{g\sin\theta}{1 + \tfrac{I}{M R^2}},
e então, partindo do repouso,
d = \tfrac12 \,a\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\,d}{a}} = \sqrt{\frac{2\,d\bigl(1 + \tfrac{I}{M R^2}\bigr)}{g\sin\theta}}.
Substituindo para cada caso:
1. Esfera sólida (A):
t_A = \sqrt{\frac{2\,d\,(1 + 2/5)}{g\sin\theta}} = \sqrt{\frac{14\,d}{5\,g\sin\theta}}.
2. Casca cilíndrica (B):
t_B = \sqrt{\frac{2\,d\,(1 + 1)}{g\sin\theta}} = \sqrt{\frac{4\,d}{g\sin\theta}} = 2\,\sqrt{\frac{d}{g\sin\theta}}.
Observa-se que t_A<t_B e que o tempo depende de d, g, \theta e do fator geométrico \bigl(1+I/(MR^2)\bigr), mas não de M nem de R.

Resposta

Velocidades na base:
v_A = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,d\sin\theta}, \quad v_B = \sqrt{g\,d\sin\theta}, \quad v_A>v_B.
Tempos de descida:
t_A = \sqrt{\frac{14\,d}{5\,g\sin\theta}}, \quad t_B = 2\,\sqrt{\frac{d}{g\sin\theta}}.
O tempo depende de d, g, \theta e do fator geométrico (momento de inércia), e independe de M e R.

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