Uma esfera sólida de 3,6 \mathrm{~kg} rola para cima de um plano inclinado de 30^{\circ} em relação à horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera possui uma velocidade igual a 4,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Calcule a energia cinética da esfera na base do plano. (b) Calcule a energia dissipada no plano inclinado sabendo que a esfera percorre 2 metros sobre
essa superfície. (c) Se não houvesse atrito, qual seria a distância percorrida pela esfera sobre o plano inclinado?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera sólida de massa 3,6\mathrm{~kg} rolando sem deslizar num plano inclinado de 30^\circ. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem velocidade 4,8\mathrm{~m/s}. Vamos usar energia mecânica: a energia cinética total de um corpo rolante (translação + rotação), o ganho de energia potencial gravitacional ao subir o plano e o trabalho dissipativo do atrito. No caso sem atrito, aplicaremos conservação pura de energia.

Passo 2

Calculamos a energia cinética total na base do plano. Para um sólido que rola sem deslizar,
E_c = E_{\text{trans}} + E_{\text{rot}} = \tfrac12\,m v^2 + \tfrac12 I\omega^2.
Como I=\tfrac25 mR^2 e \omega=v/R, temos
E_{\text{rot}} = \tfrac12\cdot\tfrac25 mR^2\cdot\frac{v^2}{R^2} = \tfrac15\,m v^2,
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E_c = \Bigl(\tfrac12 + \tfrac15\Bigr)m v^2 = \tfrac{7}{10}\,m v^2.
Substituindo m=3,6\mathrm{~kg} e v=4,8\mathrm{~m/s}:
E_c = \tfrac{7}{10}\cdot 3,6\cdot(4,8)^2 \approx 58{,}1\mathrm{~J}.

Passo 3

A esfera sobe 2 m ao longo do plano inclinado. A altura ganha é
h = s\,\sin30^\circ = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0\mathrm{~m}.
O aumento de energia potencial é
\Delta U = m g h = 3,6\cdot 9,8\cdot 1,0 \approx 35{,}3\mathrm{~J}.

Passo 4

A energia dissipada pelo atrito é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia potencial adquirida (assumindo que a esfera para ao fim dos 2 m):
E_{\text{diss}} = E_c - \Delta U \approx 58{,}1 - 35{,}3 = 22{,}8\mathrm{~J}.

Passo 5

Se não houvesse atrito, toda a energia cinética inicial viraria energia potencial:
m g h_{\text{max}} = E_c \quad\Rightarrow\quad h_{\text{max}} = \frac{E_c}{m g} = \frac{58{,}1}{3,6\cdot9,8} \approx 1{,}65\mathrm{~m}.
A distância até o ponto mais alto ao longo do plano é
s_{\text{max}} = \frac{h_{\text{max}}}{\sin30^\circ} = \frac{1{,}65}{0{,}5} \approx 3{,}3\mathrm{~m}.

Resposta

(a) 58{,}1\mathrm{~J}
(b) 22{,}8\mathrm{~J}
(c) 3{,}3\mathrm{~m}

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