Uma haste rígida de comprimento d e massa m está deitada sobre uma mesa horizontal sem atrito e articulada no ponto P em uma extremidade (conforme a figura abaixo). Um objeto pontual com mesma massa m está indo para a direita com a velocidade v_{i}. Ele colide com a haste no ponto médio da haste e rebate para trás com velocidade v_{f}=(1 / 7) v_{i}. Após a colisão, a haste gira no sentido horário sobre o seu ponto de articulação P com velocidade angular \omega_{f}. O momento de inércia de uma haste sobre o centro de massa é I_{c m}=(1 / 12) m d^{2}. (a)Calcule a velocidade angular da barra. (b)Calcule as energias cinéticas inicial e final. Que tipo de colisão se trata?

Passo 1

O enunciado descreve uma massa pontual de massa m que colide com uma haste rígida de mesma massa m e comprimento d, articulada sem atrito em uma de suas extremidades P. O choque ocorre no ponto médio da haste e faz a massa rebater para trás com velocidade v_{f}=(1/7)v_{i} enquanto a haste adquire velocidade angular \omega_{f}. O conteúdo-chave aqui é a conservação do momento angular em relação ao pivô P (já que a força de reação no pivô não produz torque) e o uso do teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia da haste em relação a P.

Passo 2

Calculamos o momento de inércia da haste em relação ao ponto de articulação P. Sabendo que
I_{\text{cm}}=\tfrac{1}{12}m d^{2}
e que a distância entre o centro de massa e P é d/2, pelo teorema dos eixos paralelos
I_{P}=I_{\text{cm}}+m\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^{2} =\tfrac{1}{12}m d^{2}+\tfrac{1}{4}m d^{2} =\tfrac{1}{3}m d^{2}.

Passo 3

Aplicamos conservação de momento angular em torno de P. Escolhendo sentido horário como positivo, o momento angular inicial é dado pela massa em movimento a uma distância d/2 de P:
L_{i}=m\,v_{i}\,\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr).
Após o choque, temos contribuição da haste mais da massa que rebate. Como a massa rebate para a esquerda com velocidade v_{f}<0, seu momento angular final é
L_{\text{mass, f}}=m\,v_{f}\,\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr).
E o momento angular da haste é
L_{\text{haste, f}}=I_{P}\,\omega_{f}.
Logo,
L_{i}=L_{\text{haste, f}}+L_{\text{mass, f}} \;\Longrightarrow\; m\,v_{i}\,\tfrac{d}{2} =I_{P}\,\omega_{f} + m\,v_{f}\,\tfrac{d}{2}.

Passo 4

Isolando \omega_{f} na equação acima:
I_{P}\,\omega_{f} = m\,\tfrac{d}{2}\,(v_{i}-v_{f})
note que v_{f} é negativo no nosso sinal, mas como foi dado v_{f}=(1/7)v_{i} de sentido contrário, temos v_{i}-v_{f}=v_{i}+v_{i}/7=(8/7)v_{i}. Portanto,
\omega_{f} =\frac{m\,(d/2)\,(8/7)\,v_{i}}{(\tfrac{1}{3}m d^{2})} =\frac{3}{d}\,\frac{d}{2}\,\frac{8}{7}\,v_{i} =\frac{12}{14\,d}\,v_{i} =\frac{6}{7\,d}\,v_{i}.

Passo 5

Calculamos as energias cinéticas.
A energia cinética inicial é só da massa:
K_{i}=\tfrac{1}{2}m\,v_{i}^{2}.
A energia cinética final é soma da translação da massa mais a rotação da haste:
K_{\text{mass, f}} =\tfrac{1}{2}m\,v_{f}^{2} =\tfrac{1}{2}m\Bigl(\tfrac{v_{i}}{7}\Bigr)^{2} =\tfrac{1}{98}m\,v_{i}^{2},
K_{\text{haste, f}} =\tfrac{1}{2}I_{P}\,\omega_{f}^{2} =\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}m d^{2}\Bigr) \Bigl(\tfrac{6}{7d}v_{i}\Bigr)^{2} =\tfrac{1}{6}m d^{2}\,\frac{36}{49d^{2}}\,v_{i}^{2} =\tfrac{36}{294}m\,v_{i}^{2} =\tfrac{6}{49}m\,v_{i}^{2}.
Somando:
K_{f} =\tfrac{1}{98}m\,v_{i}^{2}+\tfrac{6}{49}m\,v_{i}^{2} =\tfrac{1}{98}m\,v_{i}^{2}+\tfrac{12}{98}m\,v_{i}^{2} =\tfrac{13}{98}m\,v_{i}^{2} \approx 0{,}1327\,m\,v_{i}^{2}.

Passo 6

Comparando K_{i}=\tfrac{1}{2}m\,v_{i}^{2}=0{,}5\,m\,v_{i}^{2} com K_{f}\approx0{,}133\,m\,v_{i}^{2}, vemos que houve perda de energia. Portanto, trata-se de uma colisão inelástica.

Resposta

(a) \displaystyle \omega_{f}=\frac{6}{7\,d}\,v_{i}.
(b) \displaystyle K_{i}=\tfrac12\,m\,v_{i}^{2},\quad K_{f}=\tfrac{13}{98}\,m\,v_{i}^{2}.
A colisão é inelástica.

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