A altura de um arco parabólico é dada por h(x)=-0,05 x^{2}+2 x, onde x é a distância horizontal em metros. Calcule a inclinação da estrutura nos pontos x=5 me x=15 m.

Passo 1

O enunciado dá a altura de um arco parabólico como
h(x) = -0,05\,x^{2} + 2\,x
onde x é a distância horizontal em metros, e pede a inclinação da estrutura nos pontos x=5 m e x=15 m. Para isso precisamos usar o conceito de derivada, pois a derivada de h em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico nesse ponto.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de h(x). Usando a regra de potência e a derivada de constante:
h'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-0,05\,x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2\,x\bigr) = -0,05\cdot 2\,x + 2 = -0,1\,x + 2.

Passo 3

Avaliar a inclinação em x=5.
h'(5) = -0,1 \cdot 5 + 2 = -0,5 + 2 = 1,5.

Passo 4

Avaliar a inclinação em x=15.
h'(15) = -0,1 \cdot 15 + 2 = -1,5 + 2 = 0,5.

Resposta

Em x=5 m a inclinação é h'(5)=1,5.
Em x=15 m a inclinação é h'(15)=0,5.

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