A área da sombra projetada por uma estrutura ao longo do dia segue A(t)=t^{2}. \ln (t+1), com t em horas desde o nascer do sol. Calcule a taxa de variação da área da sombra em t=2 horas.

Passo 1

O enunciado diz que a área da sombra é dada por
A(t)=t^{2}\,\ln\bigl(t+1\bigr),
onde t é o tempo em horas desde o nascer do sol. Precisamos encontrar a taxa de variação \frac{dA}{dt} no instante t=2.

Passo 2

Para derivar A(t) usamos a regra do produto. Defina
u(t)=t^2,\quad v(t)=\ln\bigl(t+1\bigr).
Então
u'(t)=2t,\qquad v'(t)=\frac{1}{t+1}.
Pela regra do produto,
A'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =2t\;\ln\bigl(t+1\bigr)+t^2\;\frac{1}{t+1}.

Passo 3

Agora basta avaliar em t=2:
A'(2)=2\cdot2\;\ln(2+1)+\frac{2^2}{2+1} =4\ln(3)+\frac{4}{3}.

Resposta

\frac{dA}{dt}\Bigl|_{t=2}=4\ln(3)+\tfrac{4}{3}.

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