A temperatura de um forno industrial é controlada por T(t)=200-150 e^{-0,1 t}, onde t está em minutos. Determine a taxa de variação da temperatura no instante t=10.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do forno como
T(t)=200 - 150\,\mathrm{e}^{-0,1t},
sendo t o tempo em minutos, e pede a taxa de variação da temperatura em t=10.
Conteúdo: derivada de função exponencial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para obter a taxa de variação usamos
T'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(200 - 150\,\mathrm{e}^{-0,1t}\bigr) =-150\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\mathrm{e}^{-0,1t}\bigr).
Como \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{u(t)}=u'(t)\,\mathrm{e}^{u(t)} e aqui u(t)=-0,1t tem u'(t)=-0,1, segue
T'(t)=-150\cdot(-0,1)\,\mathrm{e}^{-0,1t} =15\,\mathrm{e}^{-0,1t}.

Passo 3

Agora basta avaliar em t=10:
T'(10)=15\,\mathrm{e}^{-0,1\cdot 10} =15\,\mathrm{e}^{-1} \approx 5,52.
A unidade é graus por minuto.

Resposta

T'(10)=15\,\mathrm{e}^{-1}\approx5,52\text{ \circC/min}.

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