A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} e o raio crescendo a uma taxa de 4 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 60 cm .

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio r e altura h cujo volume é
V = \pi r^2 h.
Sabemos que \frac{dh}{dt} = -10 \mathrm{cm/min} e \frac{dr}{dt} = 4 \mathrm{cm/min}. Precisamos achar \frac{dV}{dt} quando h=50 \mathrm{cm} e r=60 \mathrm{cm}. O conteúdo é de taxas relacionadas, usando derivação implícita.

Passo 2

Vamos derivar V = \pi r^2 h em relação a t. Note que r e h dependem de t, então aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \pi \frac{d}{dt}\bigl(r^2h\bigr) = \pi\Bigl(r^2\frac{dh}{dt} + h\frac{d}{dt}(r^2)\Bigr).

Passo 3

A derivada de r^2 é 2r\,\frac{dr}{dt}. Logo,
\frac{dV}{dt} = \pi\Bigl(r^2\frac{dh}{dt} + h\cdot2r\frac{dr}{dt}\Bigr) = \pi\bigl(r^2\,\dot h + 2r h\,\dot r\bigr),
onde \dot h = \frac{dh}{dt} e \dot r = \frac{dr}{dt}.

Passo 4

Agora substituímos r=60, h=50, \dot r=4 e \dot h=-10:
\frac{dV}{dt} = \pi\bigl(60^2\cdot(-10) + 2\cdot60\cdot50\cdot4\bigr) = \pi\bigl(-36000 + 24000\bigr) = -12000\pi.

Resposta

\frac{dV}{dt} = -12000\pi \quad\text{cm}^3\!/\,\text{min}.

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