1. A altura da um cone de revolução que tem área lateral igual a 15 \pi e raio da base igual a 3 é
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cone de revolução. As informações dadas são:
  • A área lateral do cone é \;15\pi\;.
  • O raio da base é \;3\;.
    A pergunta é: qual é a altura do cone?

Passo 2

Vamos usar a fórmula da área lateral de um cone e definir as variáveis. A fórmula é
A_L = \pi r l
onde:
  • A_L é a área lateral do cone (a parte curva, sem a base),
  • r é o raio da base,
  • l é a geratriz ou apótema do cone (o comprimento do segmento da aresta inclinada desde a borda da base até o vértice).
Breve explicação de onde vem essa fórmula (intuição útil para a prova): se “cortarmos” a superfície lateral do cone e a abrirmos, ela vira um setor circular de raio l cuja circunferência do setor é igual à circunferência da base do cone, isto é, 2\pi r. A área de um setor circular de raio l e arco de comprimento 2\pi r é \tfrac{(\text{arco})\cdot l}{2}=\tfrac{2\pi r\cdot l}{2}=\pi r l. Pronto — fórmula justificada.

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula \;A_L=\pi r l\;. Sabemos que \;A_L=15\pi\; e \;r=3\;. Então
15\pi = \pi \cdot 3 \cdot l.
Agora isolamos l. Primeiro dividimos ambos os lados por \pi:
15 = 3 l.
Em seguida dividimos por 3:
l = 5.
Portanto a geratriz (apótema) do cone é \;l=5\;.

Passo 4

Para achar a altura h usamos a relação geométrica entre a geratriz l, o raio r e a altura h. Esses três formam um triângulo retângulo (a altura perpendicular ao centro da base, o raio e a geratriz), então vale o teorema de Pitágoras:
l^2 = r^2 + h^2.
Substituímos l=5 e r=3:
5^2 = 3^2 + h^2.
Calculando:
25 = 9 + h^2.
Isolando h^2:
h^2 = 25 - 9 = 16.
Tomando raiz quadrada (altura é positiva):
h = \sqrt{16} = 4.

Passo 5

Pequena checagem mental: com r=3 e h=4 o triângulo tem hipotenusa l=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, que é o valor que encontramos antes — tudo consistente. Respira fundo: deu certinho!

Resposta

d) 4

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