- A altura da um cone de revolução que tem área lateral igual a
e raio da base igual a 3 é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Passo 1
O enunciado pede a altura de um cone de revolução. As informações dadas são:
- A área lateral do cone é
. - O raio da base é
.
A pergunta é: qual é a altura do cone?
Passo 2
Vamos usar a fórmula da área lateral de um cone e definir as variáveis. A fórmula é
onde:
-
é a área lateral do cone (a parte curva, sem a base), -
é o raio da base, -
é a geratriz ou apótema do cone (o comprimento do segmento da aresta inclinada desde a borda da base até o vértice).
Breve explicação de onde vem essa fórmula (intuição útil para a prova): se “cortarmos” a superfície lateral do cone e a abrirmos, ela vira um setor circular de raio
cuja circunferência do setor é igual à circunferência da base do cone, isto é,
. A área de um setor circular de raio
e arco de comprimento
é
. Pronto — fórmula justificada.
Passo 3
Substituímos os valores conhecidos na fórmula
. Sabemos que
e
. Então
Agora isolamos
. Primeiro dividimos ambos os lados por
:
Em seguida dividimos por
:
Portanto a geratriz (apótema) do cone é
.
Passo 4
Para achar a altura
usamos a relação geométrica entre a geratriz
, o raio
e a altura
. Esses três formam um triângulo retângulo (a altura perpendicular ao centro da base, o raio e a geratriz), então vale o teorema de Pitágoras:
Substituímos
e
:
Calculando:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (altura é positiva):
Passo 5
Pequena checagem mental: com
e
o triângulo tem hipotenusa
, que é o valor que encontramos antes — tudo consistente. Respira fundo: deu certinho!
Resposta
d)