- Duplicando a altura e reduzindo à metade o raio da base de um cone de volume
, obtém-se um cone de volume
. O valor de
é
a)
b)
c) 1
d) 2
a)
b)
c) 1
d) 2
Passo 1
O enunciado dá um cone inicial com volume
. Ao duplicar a altura e reduzir à metade o raio da base desse cone, obtém-se um novo cone com volume
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- raio inicial:
(vou usar para representar o raio do cone original); - altura inicial:
(vou usar para representar a altura do cone original); - raio do novo cone:
(metade do raio original); - altura do novo cone:
(duas vezes a altura original).
O que o enunciado pede: calcular a razão.
Passo 2
Fórmula para o volume de um cone:
Explicando essa fórmula de um jeito tranquilo:
-
é o volume do cone (o espaço que ele ocupa); -
é a constante geométrica (~3,1415…); -
é o raio da base do cone; -
é a altura do cone (distância do vértice ao centro da base); - A razão
vem do fato de que o volume do cone é um terço do volume do cilindro com mesma base e mesma altura; aparece porque a área da base é , e o volume é área da base vezes altura multiplicada por .
Passo 3
Escrevendo o volume do cone original usando a fórmula:
Aqui
e
são, novamente, as dimensões originais.
Passo 4
Agora escrevo o volume do novo cone com as dimensões alteradas. Usando
e
:
Substituindo
e
:
Calculo passo a passo o quadrado e simplifico:
portanto
Multiplicando os fatores numéricos
e
:
logo
Comparando com
, obtemos
Passo 5
Interpretação didática (uma dica útil para a prova): quando você escala dimensões lineares, as áreas escalam com o quadrado do fator e os volumes com o cubo do fator. Neste problema as duas dimensões não foram escaladas pelo mesmo fator (raio por
, altura por
), então o fator total sobre o volume é o produto do fator de área da base
pelo fator da altura
, que dá
. Isso confirma o resultado obtido acima sem precisar repetir todos os passos algébricos.
Resposta
d)