1. Duplicando a altura e reduzindo à metade o raio da base de um cone de volume V_{1}, obtém-se um cone de volume V_{2}. O valor de V_{1} / V_{2} é
    a) \frac{1}{4}
    b) 1 / 2
    c) 1
    d) 2

Passo 1

O enunciado dá um cone inicial com volume V_{1}. Ao duplicar a altura e reduzir à metade o raio da base desse cone, obtém-se um novo cone com volume V_{2}.
Informações dadas:
  • raio inicial: r (vou usar r para representar o raio do cone original);
  • altura inicial: h (vou usar h para representar a altura do cone original);
  • raio do novo cone: r_2 = \dfrac{r}{2} (metade do raio original);
  • altura do novo cone: h_2 = 2h (duas vezes a altura original).
    O que o enunciado pede: calcular a razão \dfrac{V_{1}}{V_{2}}.

Passo 2

Fórmula para o volume de um cone:
V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h
Explicando essa fórmula de um jeito tranquilo:
  • V é o volume do cone (o espaço que ele ocupa);
  • \pi é a constante geométrica (~3,1415…);
  • r é o raio da base do cone;
  • h é a altura do cone (distância do vértice ao centro da base);
  • A razão \dfrac{1}{3} vem do fato de que o volume do cone é um terço do volume do cilindro com mesma base e mesma altura; r^{2} aparece porque a área da base é \pi r^{2}, e o volume é área da base vezes altura multiplicada por \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Escrevendo o volume do cone original usando a fórmula:
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2} h.
Aqui r e h são, novamente, as dimensões originais.

Passo 4

Agora escrevo o volume do novo cone com as dimensões alteradas. Usando r_2=\dfrac{r}{2} e h_2=2h:
V_{2}=\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2} h_{2}.
Substituindo r_{2} e h_{2}:
V_{2}=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2}(2h).
Calculo passo a passo o quadrado e simplifico:
\left(\frac{r}{2}\right)^{2}=\frac{r^{2}}{4},
portanto
V_{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{r^{2}}{4}\cdot 2h.
Multiplicando os fatores numéricos \frac{1}{4} e 2:
\frac{1}{4}\cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},
logo
V_{2}=\frac{1}{3}\pi r^{2} h \cdot \frac{1}{2}.
Comparando com V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2} h, obtemos
V_{2}=\frac{1}{2}V_{1}.

Passo 5

Interpretação didática (uma dica útil para a prova): quando você escala dimensões lineares, as áreas escalam com o quadrado do fator e os volumes com o cubo do fator. Neste problema as duas dimensões não foram escaladas pelo mesmo fator (raio por 1/2, altura por 2), então o fator total sobre o volume é o produto do fator de área da base (1/2)^{2} pelo fator da altura (2), que dá (1/4)\cdot 2 = 1/2. Isso confirma o resultado obtido acima sem precisar repetir todos os passos algébricos.

Resposta

d) 2

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