A altura de homens adultos em uma população segue uma distribuição normal com média \mu=175 \mathrm{~cm} e desvio padrão \sigma=8 \mathrm{~cm}. Qual a probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter altura entre 170 cm e 185 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A altura X de homens adultos segue uma distribuição normal com média \mu=175 cm e desvio padrão \sigma=8 cm.
  • Pergunta: qual a probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter altura entre 170 cm e 185 cm? Ou seja, calcular \mathbb{P}(170 \le X \le 185).

Passo 2

Estratégia (o que vamos calcular): transformar a variável X em uma variável normal padrão Z para usar tabelas ou calculadora da normal padrão. A padronização usa a fórmula abaixo:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média da distribuição de X e \sigma é o desvio padrão. A variável Z tem distribuição normal padrão, isto é, média 0 e desvio padrão 1. A probabilidade desejada se transforma em termos de Z:
\mathbb{P}(170 \le X \le 185)=\mathbb{P}\!\left(\frac{170-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{185-\mu}{\sigma}\right).
A função cumulativa da normal padrão será denotada por \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Assim a probabilidade entre dois valores é \Phi(z_2)-\Phi(z_1).

Passo 3

Calcular os valores padronizados ( z-scores) dos limites:
z_1=\frac{170-175}{8}=\frac{-5}{8}=-0,625, \qquad z_2=\frac{185-175}{8}=\frac{10}{8}=1,25.
Portanto
\mathbb{P}(170 \le X \le 185)=\mathbb{P}(-0,625 \le Z \le 1,25)=\Phi(1,25)-\Phi(-0,625).

Passo 4

Usar a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter os valores \Phi(1,25) e \Phi(-0,625).
Explicando rápido como ler a tabela: a tabela dá \Phi(z) para z\ge0. Para z<0 usa-se a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a).
Valores (usando tabela/ calculadora):
\Phi(1,25)\approx 0,89435, \qquad \Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625)\approx 1-0,73401\approx 0,26599.

Passo 5

Subtrair para obter a probabilidade:
\mathbb{P}(170 \le X \le 185)=\Phi(1,25)-\Phi(-0,625)\approx 0,89435-0,26599\approx 0,62836.
Em porcentagem isso é aproximadamente 62,836\%.

Passo 6

Interpretação curta e dica: cerca de 62{,}8\% dos homens dessa população têm altura entre 170 cm e 185 cm. Se estiver sem tabela na prova, a padronização e o uso de calculadora com função de distribuição normal acumulada dão o mesmo resultado.

Resposta

0,62836
62,836\%

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