Se Z \sim N(0,1), calcule:
Calcule as seguintes probabilidades:
P(Z \leq-1,5)+P(Z \geq 1,5).

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, isto é, Z\sim N(0,1). A tarefa é calcular a soma
P(Z \leq -1,5) + P(Z \geq 1,5).
Informações relevantes fornecidas:
  • Z tem média 0 e variância 1.
  • Os valores numéricos nas probabilidades envolvem o ponto 1{,}5.

Passo 2

Vou lembrar duas coisas importantes sobre a normal padrão que vou usar:
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é geralmente denotada por \Phi(x) e definida por
\Phi(x)=P(Z\leq x).
Aqui \Phi(x) dá a probabilidade de que Z seja menor ou igual a x.
  • A densidade da normal padrão é simétrica em torno de 0. Daí decorre a propriedade de simetria das probabilidades:
P(Z\leq -a)=P(Z\geq a)\quad\text{para todo }a\geq0.
Isto acontece porque a curva é espelhada à esquerda e à direita do zero.

Passo 3

Aplicando a propriedade de simetria ao termo P(Z\leq -1,5), obtemos
P(Z\leq -1,5)=P(Z\geq 1,5).
Portanto a soma que queremos fica
P(Z\leq -1,5)+P(Z\geq 1,5)=P(Z\geq 1,5)+P(Z\geq 1,5)=2\,P(Z\geq 1,5).

Passo 4

Expressando P(Z\geq 1,5) em termos da CDF \Phi, temos
P(Z\geq 1,5)=1-\Phi(1,5),
pois \Phi(1,5)=P(Z\leq1,5) e a probabilidade complementar dá a cauda direita.

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1,5). Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, encontra-se
\Phi(1,5)\approx 0{,}9332.
(Em tabelas convencionais, buscar a linha 1{,}5 e a coluna 0{,}00 0{,}9332.)

Passo 6

Calcule P(Z\geq 1,5) e depois a soma:
P(Z\geq 1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0{,}9332=0{,}0668,
2\,P(Z\geq 1,5)=2\times 0{,}0668=0{,}1336.

Resposta

0,1336

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