Se Z \sim N(0,1), calcule:
Calcule as seguintes probabilidades:
P(0 \leq Z \leq 1,5).

Passo 1

O enunciado dá que Z segue uma normal padrão, isto é Z\sim N(0,1). A pergunta é calcular a probabilidade
P(0 \leq Z \leq 1,5).
Informações relevantes dadas:
  • Z é a variável aleatória padrão com média 0 e variância 1.
  • O ponto superior do intervalo é 1,5.

Passo 2

Vou lembrar o que significa trabalhar com a normal padrão e a função de distribuição acumulada (CDF).
  • A função densidade da normal padrão é \varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}. Aqui \varphi(x) é a densidade de probabilidade em x.
  • A função de distribuição acumulada é \Phi(a)=P(Z\le a)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a}\varphi(x)\,dx. Aqui \Phi(a) dá a probabilidade de Z ser menor ou igual a a.
    Explicando as variáveis: x é a variável de integração (valor da variável aleatória), \varphi(x) é a densidade naquele x, e \Phi(a) é a área acumulada até a.

Passo 3

Transformar a probabilidade pedida em termos de \Phi. Temos
P(0 \leq Z \leq 1,5)=\Phi(1,5)-\Phi(0).
Agora uso uma propriedade importante da normal padrão: ela é simétrica em torno de 0, logo \Phi(0)=0,5. Outra forma útil é P(-a\le Z\le a)=2\Phi(a)-1, que vem da mesma simetria.

Passo 4

Logo
P(0 \leq Z \leq 1,5)=\Phi(1,5)-0,5.
O valor \Phi(1,5) não tem expressão elementar simples e costuma ser obtido por tabela da normal padrão, calculadora estatística ou função erro ( \operatorname{erf}). Usando a tabela padrão ou uma calculadora, encontra-se
\Phi(1,5)\approx 0,93319.
Subtraindo 0,5,
P(0 \leq Z \leq 1,5)\approx 0,93319-0,5=0,43319.
Arredondando de forma prática (4 casas decimais), obtemos 0,4332.

Passo 5

Interpretação rápida e motivação: isso significa que, para uma normal padrão, a probabilidade de Z cair entre 0 e 1,5 é cerca de 43{,}32\%. É a área sob a curva “sino” entre esses dois pontos — metade da cauda esquerda (50%) até a CDF em 1,5.

Resposta

0,4332

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