Qual é a altura de um local em que um pêndulo simples pendurado no teto leva 45 s para completar 10 oscilações? (Use \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado pede a altura de um local (ou seja, o comprimento do pêndulo desde o teto até o corpo) sabendo que um pêndulo simples preso no teto leva 45\\ \mathrm{s} para completar 10 oscilações. Dados fornecidos:
  • Tempo total para 10 oscilações: \,45\\ \mathrm{s}\,.
  • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
    O que se quer calcular: o comprimento L do pêndulo (altura do local medida desde o teto até o ponto de suspensão até o corpo).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Um pêndulo simples, para pequenas oscilações (ângulos pequenos), tem movimento aproximadamente harmônico simples. A equação angular aproximada é
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde:
  • \theta(t) é o deslocamento angular pequeno do pêndulo (em radianos),
  • \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal de \theta, ou seja, a aceleração angular,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • L é o comprimento do pêndulo (o que queremos).
  • Essa equação é a mesma de um oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • A relação entre período T (tempo de uma oscilação completa) e \omega é
T = \frac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega obtemos a fórmula bem conhecida do pêndulo para pequenas oscilações:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Explicação das variáveis nessa fórmula:
  • \,T é o tempo de uma oscilação completa (segundos).
  • \,L é o comprimento do pêndulo (metros).
  • \,g é a gravidade (m/s²).
    Observação importante (assunção): essa fórmula vale quando as oscilações são pequenas (por exemplo amplitudes menores que cerca de 15^\circ); se a amplitude for grande, a fórmula não é precisa.

Passo 3

Determinar o período T a partir dos dados.
  • Tempo total para 10 oscilações é \,45\\ \mathrm{s}. Logo o período é a razão:
T=\frac{45\\ \mathrm{s}}{10}=4{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Isolar L na fórmula do período.
  • Partimos de
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Dividindo por 2\pi e elevando ao quadrado:
\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{L}{g}} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{L}{g}.
  • Assim,
L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2} \quad\text{ou equivalentemente}\quad L=\frac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}}.

Passo 5

Substituir os valores e calcular passo a passo (com aproximações usuais para \pi).
  • Primeiro calcule T^{2}:
T^{2}=(4{,}5)^{2}=20{,}25.
  • Usar \pi^{2}\approx 9{,}8696. Então
4\pi^{2}\approx 4\times 9{,}8696 = 39{,}4784.
  • Calcular o numerador g\,T^{2}:
g\,T^{2}=9{,}81\times 20{,}25 = 198{,}8025.
  • Dividir para obter L:
L=\frac{198{,}8025}{39{,}4784}\approx 5{,}0336\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma prática (duas casas decimais) obtemos
L\approx 5{,}03\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem da suposição e interpretação final.
  • Foi utilizada a hipótese de pequenas oscilações (sinθ ≈ θ). Se as oscilações forem realmente pequenas na situação do problema, o resultado é confiável.
  • O comprimento L encontrado representa a altura do local pedida: é a distância do teto até o corpo do pêndulo.

Passo 7

Recapitulando de forma curta e motivadora: fizemos a conta usando a fórmula do período do pêndulo simples, transformamos o tempo total em período e resolvemos para L. Está certinho — você consegue repetir isso na prova com esses passos.

Resposta

5{,}03\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados