Qual é a altura de um local em que um pêndulo simples pendurado no teto leva 45 s para completar 10 oscilações? (Use
)
Passo 1
O enunciado pede a altura de um local (ou seja, o comprimento do pêndulo desde o teto até o corpo) sabendo que um pêndulo simples preso no teto leva
para completar
oscilações. Dados fornecidos:
- Tempo total para
oscilações: . - Aceleração da gravidade:
.
O que se quer calcular: o comprimentodo pêndulo (altura do local medida desde o teto até o ponto de suspensão até o corpo).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Um pêndulo simples, para pequenas oscilações (ângulos pequenos), tem movimento aproximadamente harmônico simples. A equação angular aproximada é
onde:
-
é o deslocamento angular pequeno do pêndulo (em radianos), -
é a segunda derivada temporal de , ou seja, a aceleração angular, -
é a aceleração da gravidade, -
é o comprimento do pêndulo (o que queremos). - Essa equação é a mesma de um oscilador harmônico simples com frequência angular
- A relação entre período
(tempo de uma oscilação completa) e é
- Substituindo
obtemos a fórmula bem conhecida do pêndulo para pequenas oscilações:
Explicação das variáveis nessa fórmula:
-
é o tempo de uma oscilação completa (segundos). -
é o comprimento do pêndulo (metros). -
é a gravidade (m/s²).
Observação importante (assunção): essa fórmula vale quando as oscilações são pequenas (por exemplo amplitudes menores que cerca de); se a amplitude for grande, a fórmula não é precisa.
Passo 3
Determinar o período
a partir dos dados.
- Tempo total para
oscilações é . Logo o período é a razão:
Passo 4
Isolar
na fórmula do período.
- Partimos de
- Dividindo por
e elevando ao quadrado:
- Assim,
Passo 5
Substituir os valores e calcular passo a passo (com aproximações usuais para
).
- Primeiro calcule
:
- Usar
. Então
- Calcular o numerador
:
- Dividir para obter
:
- Arredondando de forma prática (duas casas decimais) obtemos
Passo 6
Checagem da suposição e interpretação final.
- Foi utilizada a hipótese de pequenas oscilações (sinθ ≈ θ). Se as oscilações forem realmente pequenas na situação do problema, o resultado é confiável.
- O comprimento
encontrado representa a altura do local pedida: é a distância do teto até o corpo do pêndulo.
Passo 7
Recapitulando de forma curta e motivadora: fizemos a conta usando a fórmula do período do pêndulo simples, transformamos o tempo total em período e resolvemos para
. Está certinho — você consegue repetir isso na prova com esses passos.