Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo período é de
em um local onde a
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Período do pêndulo:
. - Aceleração da gravidade no local:
. - Pergunta: determinar o comprimento
do pêndulo simples que tem esse período.
Passo 2
A fórmula que relaciona o período
de um pêndulo simples ao seu comprimento
(para oscilações pequenas) é
Explicando a fórmula de forma didática:
-
é o tempo de uma oscilação completa (período). -
é o comprimento do fio (o que queremos encontrar). -
é a aceleração da gravidade no local.
Essa fórmula vem da aproximação de pequenas oscilações, ondee a equação de movimento angular se reduz a uma equação de movimento harmônico simples com frequência angular . Daí . Observação importante: nessa fórmula o período não depende da massa do pêndulo, apenas de e .
Passo 3
Agora isolamos
na fórmula. Partimos de
Dividindo ambos os lados por
,
Elevando ao quadrado os dois lados,
Multiplicando por
,
Como
, podemos simplificar ainda:
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente, substituindo
:
Calculemos passo a passo (valores arredondados para facilitar a conta manual, mantendo precisão suficiente):
Então
Multiplicando por
:
Considerando os algarismos significativos dos dados (
tem três algarismos significativos e
também), arredondamos o resultado a três algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação e observação prática: o comprimento encontrado é aproximadamente
. Lembre-se de que essa fórmula vale bem quando as oscilações têm amplitude pequena (a aproximação
foi usada implicitamente). Para amplitudes grandes, o período dependeria levemente da amplitude e o valor exato mudaria um pouco.