Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo período é de 3,00 \mathrm{~s} em um local onde a \mathrm{g}=9,82 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Período do pêndulo: T=3,00\\ \mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade no local: g=9,82\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pergunta: determinar o comprimento L do pêndulo simples que tem esse período.

Passo 2

A fórmula que relaciona o período T de um pêndulo simples ao seu comprimento L (para oscilações pequenas) é
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • T é o tempo de uma oscilação completa (período).
  • L é o comprimento do fio (o que queremos encontrar).
  • g é a aceleração da gravidade no local.
    Essa fórmula vem da aproximação de pequenas oscilações, onde \sin\theta\approx\theta e a equação de movimento angular se reduz a uma equação de movimento harmônico simples com frequência angular \omega=\sqrt{g/L}. Daí T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{L/g}. Observação importante: nessa fórmula o período não depende da massa do pêndulo, apenas de L e g.

Passo 3

Agora isolamos L na fórmula. Partimos de
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Dividindo ambos os lados por 2\pi,
\dfrac{T}{2\pi} = \sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Elevando ao quadrado os dois lados,
\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{2} = \dfrac{L}{g}.
Multiplicando por g,
L = g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{2}.
Como T=3,00\\ \mathrm{s}, podemos simplificar ainda:
L = g\cdot\dfrac{9}{4\pi^{2}} \quad\text{(porque }T^{2}=3{,}00^{2}=9{,}00\text{)}.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente, substituindo g=9,82\\ \mathrm{m/s^{2}}:
L = 9{,}82\cdot\dfrac{9}{4\pi^{2}}\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo (valores arredondados para facilitar a conta manual, mantendo precisão suficiente):
4\pi^{2}\approx 39{,}4784176.
Então
\dfrac{9}{4\pi^{2}}\approx \dfrac{9}{39{,}4784176}\approx 0{,}2280.
Multiplicando por g:
L \approx 9{,}82\times 0{,}2280 \approx 2{,}239\\ \mathrm{m}.
Considerando os algarismos significativos dos dados ( T=3{,}00 tem três algarismos significativos e g=9{,}82 também), arredondamos o resultado a três algarismos significativos:
L \approx 2{,}24\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação e observação prática: o comprimento encontrado é aproximadamente 2{,}24\\ \mathrm{m}. Lembre-se de que essa fórmula vale bem quando as oscilações têm amplitude pequena (a aproximação \sin\theta\approx\theta foi usada implicitamente). Para amplitudes grandes, o período dependeria levemente da amplitude e o valor exato mudaria um pouco.

Resposta

2{,}24\\ \mathrm{m}

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