Mostre como encontrar a expressão para o período do sistema massamola.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se encontrar a expressão do período do movimento para um sistema massa-mola ideal.
  • Informações relevantes (implícitas no enunciado típico): há uma massa de massa m presa a uma mola linear de constante elástica k; a massa pode mover-se apenas numa direção (uma dimensão); não há atrito nem amortecimento; a posição de equilíbrio da massa é x=0.
    As incógnitas que queremos: a expressão do período T do movimento oscilatório em função de m e k.

Passo 2

Forças e definições básicas (aula rápida e sem pulo de etapa).
  • Definição de deslocamento: seja x(t) a posição da massa no tempo t, medida a partir do equilíbrio ( x=0). Assim x>0 significa que a mola está alongada, x<0 comprimida.
  • Lei de Hooke (força elástica da mola): a mola exerce uma força que tende a trazer a massa ao equilíbrio e que é proporcional ao deslocamento. Expressa-se por
F_{\text{mola}} = -k\,x(t),
onde k>0 é a constante da mola. O sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).
  • Segunda lei de Newton: a resultante das forças sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração. Escrevendo a força da mola como única força relevante,
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{\text{resultante}} = -k\,x(t).
Aqui \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração da massa.

Passo 3

Obter a equação diferencial do movimento e colocar na forma padrão.
A partir de m\,\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k\,x(t) dividimos por m (supondo m>0) para obter
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\,x(t) = 0.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes. É o caso clássico do oscilador harmônico simples. Para simplificar a notação, definimos a frequência angular \omega por
\omega^{2} = \frac{k}{m}, \qquad\text{ou seja}\qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Assim a equação fica
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2} x(t) = 0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial e interpretar a solução.
  • Método (padrão e rápido): procurar soluções do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na equação dá a equação característica
r^{2} + \omega^{2} = 0.
  • As raízes são r = \pm i\omega. Portanto as soluções gerais reais são combinações de cosseno e seno:
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais (posição e velocidade iniciais). Outra forma equivalente e muitas vezes mais prática é
x(t) = X_{0}\cos(\omega t + \varphi),
onde X_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}} é a amplitude e \varphi a fase inicial.
  • Porque é periódico: funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t) repetem-se quando \omega t aumenta de 2\pi. Logo o período T (o menor intervalo de tempo após o qual x(t) se repete) satisfaz
\omega T = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi}{\omega}.

Passo 5

Relacionar \omega com m e k e obter a expressão final do período.
Recordando que \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, substituímos em T = \dfrac{2\pi}{\omega}. Assim
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Interpretação física curta: quanto maior a massa m, maior T (oscila mais devagar); quanto maior a constante k (mola mais rígida), menor T (oscila mais rápido). Conferência dimensional: \sqrt{m/k} tem dimensão de tempo, então a fórmula faz sentido dimensionalmente.

Passo 6

Dicas práticas para a prova e variações rápidas.
  • Em prova: identifique a força restauradora e escreva imediatamente m\,x'' = -k x; reconheça a frequência \omega=\sqrt{k/m} e escreva T=2\pi\sqrt{m/k}.
  • Se houver amortecimento ou forcas externas, a equação muda (aparece termo proporcional a x' ou forçante), e a expressão do período muda também — aqui a fórmula vale apenas para o oscilador harmônico simples não amortecido.
  • Exemplo mental rápido: se m=1\\ \text{kg} e k=4\\ \text{N/m}, então T=2\pi\sqrt{1/4}=\pi (unidades de segundos). Isso ajuda a checar cálculos rápidos.

Resposta

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

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