Mostre como encontrar a expressão para o período do sistema massamola.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se encontrar a expressão do período do movimento para um sistema massa-mola ideal.
- Informações relevantes (implícitas no enunciado típico): há uma massa de massa
presa a uma mola linear de constante elástica ; a massa pode mover-se apenas numa direção (uma dimensão); não há atrito nem amortecimento; a posição de equilíbrio da massa é .
As incógnitas que queremos: a expressão do períododo movimento oscilatório em função de e .
Passo 2
Forças e definições básicas (aula rápida e sem pulo de etapa).
- Definição de deslocamento: seja
a posição da massa no tempo , medida a partir do equilíbrio ( ). Assim significa que a mola está alongada, comprimida. - Lei de Hooke (força elástica da mola): a mola exerce uma força que tende a trazer a massa ao equilíbrio e que é proporcional ao deslocamento. Expressa-se por
onde
é a constante da mola. O sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).
- Segunda lei de Newton: a resultante das forças sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração. Escrevendo a força da mola como única força relevante,
Aqui
é a aceleração da massa.
Passo 3
Obter a equação diferencial do movimento e colocar na forma padrão.
A partir de dividimos por
(supondo
) para obter
A partir de
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes. É o caso clássico do oscilador harmônico simples. Para simplificar a notação, definimos a frequência angular
por
Assim a equação fica
Passo 4
Resolver a equação diferencial e interpretar a solução.
- Método (padrão e rápido): procurar soluções do tipo
. Substituindo na equação dá a equação característica
- As raízes são
. Portanto as soluções gerais reais são combinações de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (posição e velocidade iniciais). Outra forma equivalente e muitas vezes mais prática é
onde
é a amplitude e
a fase inicial.
- Porque é periódico: funções
e repetem-se quando aumenta de . Logo o período (o menor intervalo de tempo após o qual se repete) satisfaz
Passo 5
Relacionar
com
e
e obter a expressão final do período.
Recordando que , substituímos em
. Assim
Recordando que
Interpretação física curta: quanto maior a massa
, maior
(oscila mais devagar); quanto maior a constante
(mola mais rígida), menor
(oscila mais rápido). Conferência dimensional:
tem dimensão de tempo, então a fórmula faz sentido dimensionalmente.
Passo 6
Dicas práticas para a prova e variações rápidas.
- Em prova: identifique a força restauradora e escreva imediatamente
; reconheça a frequência e escreva . - Se houver amortecimento ou forcas externas, a equação muda (aparece termo proporcional a
ou forçante), e a expressão do período muda também — aqui a fórmula vale apenas para o oscilador harmônico simples não amortecido. - Exemplo mental rápido: se
e , então (unidades de segundos). Isso ajuda a checar cálculos rápidos.