A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um paralelepípedo com altura de 60 cm e a base é um quadrado. Além disso, a diagonal desse paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Nosso objetivo é encontrar o volume desse paralelepípedo. Para isso, vamos precisar entender como as medidas se relacionam usando trigonometria e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume $ V $ de um paralelepípedo é dado pela área da base vezes a altura. Como a base é um quadrado, se o lado do quadrado for $ a $, então a área da base é $ a^2 $. Assim, o volume fica:
Onde $ h = 60 $ cm.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ a $. Sabemos que a diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com a base. Vamos chamar a diagonal do paralelepípedo de $ d $. A fórmula para a diagonal de um paralelepípedo com base quadrada é:
Passo 4
O ângulo de 60° entre a diagonal e a base nos dá uma relação trigonométrica. Podemos usar a tangente desse ângulo, que é o oposto sobre o adjacente. Nesse caso:
Sabemos que $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, então:
Passo 5
Vamos resolver para $ a $:
Passo 6
Agora que temos $ a = 10\sqrt{6} $ cm, podemos calcular o volume:
Resposta
O volume do paralelepípedo é de 36.000 cm³.