A altura de um retângulo é metade de sua base. Se a sua área é 144, determine suas dimensões.
A_{\square}=b \cdot h

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as dimensões do retângulo:
  • A altura é metade da base. Em símbolos: \displaystyle h=\frac{b}{2}.
  • A área é 144. Usando a fórmula da área: \displaystyle A_{\square}=b\cdot h.
  • O que é pedido: determinar os valores numéricos da base b e da altura h.

Passo 2

Vamos escrever a relação da área usando a informação \displaystyle h=\frac{b}{2}. Substituindo na fórmula da área:
b\cdot h = 144
b\cdot\left(\frac{b}{2}\right)=144
Aqui só trocamos h por \frac{b}{2}. Agora temos uma equação em uma única incógnita, b.

Passo 3

Simplificamos a equação para ficar com b^2. Multiplicando:
\frac{b^2}{2}=144
Para eliminar o denominador, multiplicamos os dois lados por 2:
b^2 = 288
Agora temos uma equação do tipo b^2=\text{número}ú. Para achar b usamos a operação inversa da potenciação quadrada: a raiz quadrada.

Passo 4

Aplicando raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que, geometricamente, a medida da base é positiva, pegamos a raiz positiva:
b=\sqrt{288}
Agora simplificamos a raiz. Note que 288=144\cdot 2 e \sqrt{144}=12. Então:
b=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}
Explicando esse passo: \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}. Aqui a=144 e b=2.

Passo 5

Com a base encontrada, encontramos a altura usando \displaystyle h=\frac{b}{2}:
h=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}
Mostrei a divisão passo a passo: dividir 12\sqrt{2} por 2 6\sqrt{2}.

Passo 6

Vamos conferir rapidamente se as dimensões realmente dão a área 144. Calculamos b\cdot h:
(12\sqrt{2})\cdot(6\sqrt{2})=12\cdot 6 \cdot (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=72\cdot 2=144.
Aqui usei que \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. A verificação fecha certinho, então está correto.

Passo 7

Dica rápida para prova (motivação): sempre que a altura for uma múltipla simples da base (ou vice-versa), substitua direto na fórmula da área para obter uma equação em uma variável só. Depois isole a incógnita e use raiz quadrada quando aparecer algo do tipo x^2= número. Se aparecer uma raiz com fator quadrado, procure fatorar o número em um quadrado perfeito para simplificar a raiz, como fizemos com 288=144\cdot 2. Você consegue, tá indo bem!

Resposta

Base: 12\sqrt{2}
Altura: 6\sqrt{2}

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