9.7 A 4.5-ft aluminum pipe must not stretch more than 0.05 in . when it is subjected to a tensile load. Knowing that E=10.1 \times 10^{6} \mathrm{psi} and that the allowable tensile strength is 14 ksi , determine (a) the maximum allowable length of the pipe, (b) the required area of the pipe if the tensile load is 127.5 kips .
(a) \quad \delta=\frac{P L}{A E} \therefore L=\frac{E A S}{P}=\frac{E S}{\sigma}=\frac{\left(10.1 \times 10^{6}\right)(0.05)}{14 \times 10^{3}}=36.1 \mathrm{in}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do tubo (informação do enunciado): L_{\text{dado}} = 4{,}5\\ \text{ft} = 54\\ \text{in}.
    • Alongamento máximo permitido: \delta_{\max}=0{,}05\\ \text{in}.
    • Módulo de Young do alumínio: E=10{,}1\times10^{6}\\ \text{psi}.
    • Tensão admissível (tensão de tração permitida): \sigma_{\text{adm}}=14\\ \text{ksi}=14\times10^{3}\\ \text{psi}.
    • Carga de tração para (b): P=127{,}5\\ \text{kips}=127{,}5\times10^{3}\\ \text{lb}.
  • O enunciado pede:
    • (a) o comprimento máximo permitido do tubo (isto é, L_{\max}) de modo que o alongamento não ultrapasse \delta_{\max} quando a tensão for igual à tensão admissível.
    • (b) a área necessária do tubo se ele for submetido à carga P=127{,}5\\ \text{kips} (devendo atender tanto o limite de tensão admissível quanto o limite de alongamento).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada variável):
  • Tensão normal (tensão axial) é \displaystyle \sigma=\frac{P}{A}, onde
    • \sigma é a tensão em \text{psi},
    • P é a força axial em \text{lb},
    • A é a área da seção transversal em \text{in}^2.
  • Deformação axial (strain) é \displaystyle \varepsilon=\frac{\delta}{L}, onde
    • \varepsilon é a deformação (adimensional),
    • \delta é o alongamento absoluto em \text{in},
    • L é o comprimento original em \text{in}.
  • Lei de Hooke (para regime elástico linear): \displaystyle \sigma=E\varepsilon. Substituindo \varepsilon=\dfrac{\delta}{L} obtemos a relação direta entre \delta,\;L,\;\sigma e E: \delta=\frac{\sigma L}{E}.
  • Outra forma útil, usando P e A: a relação conhecida é \delta=\frac{P L}{A E}.Ambas são equivalentes porque \sigma=P/A.
Vou usar essas fórmulas para (a) isolar L e para (b) isolar A.

Passo 3

Resolvendo (a): achar o comprimento máximo L_{\max} de modo que, quando a tensão for igual à tensão admissível \sigma_{\text{adm}}, o alongamento não passe de \delta_{\max}.
Partimos de
\delta=\frac{\sigma L}{E}.
Isolando L:
L=\frac{E\,\delta}{\sigma}.
Substituindo \delta=\delta_{\max}, E e \sigma=\sigma_{\text{adm}}:
L_{\max}=\frac{\left(10{,}1\times10^{6}\right)\left(0{,}05\right)}{14\times10^{3}}\\ \text{in}.
Faça as contas passo a passo:
\text{numerador}=10{,}1\times10^{6}\times0{,}05=505{,}000,
L_{\max}=\frac{505{,}000}{14{,}000}=36{,}0714286\\ \text{in}.
Arredondando de forma prática:
L_{\max}\approx36{,}1\\ \text{in} \approx 3{,}01\\ \text{ft}.
Comentário prático: isso significa que, se a tensão no tubo for igual ao limite admissível de 14\\ \text{ksi}, o comprimento do tubo não pode exceder cerca de 36{,}1\\ \text{in} sem ultrapassar o alongamento permitido de 0{,}05\\ \text{in}. Note que o comprimento dado no enunciado ( 54\\ \text{in}) é maior do que esse L_{\max}, ou seja, um tubo com 4{,}5\\ \text{ft} submetido a uma tensão de 14\\ \text{ksi} alongaria mais que 0{,}05\\ \text{in}.

Passo 4

Resolvendo (b): encontrar a área necessária A para que, sob a carga P=127{,}5\\ \text{kips}, o tubo atenda tanto o limite de tensão quanto o limite de alongamento.
Temos duas condições que a área deve satisfazer:
  1. Condição de tensão (não exceder \sigma_{\text{adm}}):
\sigma=\frac{P}{A}\le\sigma_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad A\ge\frac{P}{\sigma_{\text{adm}}}.
Calcule A mínima por tensão:
A_{\sigma}=\frac{P}{\sigma_{\text{adm}}}=\frac{127{,}5\times10^{3}}{14\times10^{3}}\\ \text{in}^2=\frac{127{,}5}{14}\\ \text{in}^2.
A_{\sigma}=9{,}107142857\\ \text{in}^2\approx9{,}11\\ \text{in}^2.
  1. Condição de alongamento (não exceder \delta_{\max}):
\delta=\frac{P L}{A E}\le\delta_{\max} \quad\Rightarrow\quad A\ge\frac{P L}{E\,\delta_{\max}}.
Aqui usamos o comprimento real do tubo L_{\text{dado}}=54\\ \text{in} (porque a pergunta (b) diz “se a carga é 127,5 kips” para o tubo com comprimento dado). Calcule:
A_{\delta}=\frac{P L_{\text{dado}}}{E\,\delta_{\max}} =\frac{127{,}5\times10^{3}\times54}{10{,}1\times10^{6}\times0{,}05}\\ \text{in}^2.
Calcule passo a passo:
\text{numerador}=127{,}500\times54=6{,}885{,}000,
\text{denominador}=10{,}100{,}000\times0{,}05=505{,}000,
A_{\delta}=\frac{6{,}885{,}000}{505{,}000}=13{,}6346535\\ \text{in}^2\approx13{,}63\\ \text{in}^2.

Passo 5

Concluir qual é a área requerida: a área deve satisfazer ambas as condições, portanto deve ser o maior entre A_{\sigma} e A_{\delta}:
A_{\text{req}}=\max\{A_{\sigma},A_{\delta}\}=\max\{9{,}11,\;13{,}63\}\\ \text{in}^2=13{,}63\\ \text{in}^2.
Verificação rápida:
  • Com A=13{,}63\\ \text{in}^2 a tensão gerada é
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{127{,}500}{13{,}63}\\ \text{psi}\approx9{,}36\times10^{3}\\ \text{psi}=9{,}36\\ \text{ksi}<14\\ \text{ksi},
ou seja, dentro do admissível.
  • O alongamento é exatamente o limite porque foi calculado para isso:
\delta=\frac{P L}{A E}=0{,}05\\ \text{in}.
Força e ânimo: deu trabalho, mas agora você tem as duas respostas e sabe como checar tensão e alongamento numa peça submetida à tração!

Resposta

(a) L_{\max}=36{,}1\\ \text{in}\approx3{,}01\\ \text{ft}
(b) A_{\text{req}}=13{,}63\\ \text{in}^2

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