9.7 A 4.5-ft aluminum pipe must not stretch more than 0.05 in . when it is subjected to a tensile load. Knowing that
and that the allowable tensile strength is 14 ksi , determine (a) the maximum allowable length of the pipe, (b) the required area of the pipe if the tensile load is 127.5 kips .
(a)
.
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Comprimento do tubo (informação do enunciado):
. - Alongamento máximo permitido:
. - Módulo de Young do alumínio:
. - Tensão admissível (tensão de tração permitida):
. - Carga de tração para (b):
.
- Comprimento do tubo (informação do enunciado):
- O enunciado pede:
- (a) o comprimento máximo permitido do tubo (isto é,
) de modo que o alongamento não ultrapasse quando a tensão for igual à tensão admissível. - (b) a área necessária do tubo se ele for submetido à carga
(devendo atender tanto o limite de tensão admissível quanto o limite de alongamento).
- (a) o comprimento máximo permitido do tubo (isto é,
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada variável):
- Tensão normal (tensão axial) é
, onde -
é a tensão em , -
é a força axial em , -
é a área da seção transversal em .
-
- Deformação axial (strain) é
, onde -
é a deformação (adimensional), -
é o alongamento absoluto em , -
é o comprimento original em .
-
- Lei de Hooke (para regime elástico linear):
. Substituindo obtemos a relação direta entre e : - Outra forma útil, usando
e : a relação conhecida é Ambas são equivalentes porque .
Vou usar essas fórmulas para (a) isolar
e para (b) isolar
.
Passo 3
Resolvendo (a): achar o comprimento máximo
de modo que, quando a tensão for igual à tensão admissível
, o alongamento não passe de
.
Partimos de
Isolando
:
Substituindo
,
e
:
Faça as contas passo a passo:
Arredondando de forma prática:
Comentário prático: isso significa que, se a tensão no tubo for igual ao limite admissível de
, o comprimento do tubo não pode exceder cerca de
sem ultrapassar o alongamento permitido de
. Note que o comprimento dado no enunciado (
) é maior do que esse
, ou seja, um tubo com
submetido a uma tensão de
alongaria mais que
.
Passo 4
Resolvendo (b): encontrar a área necessária
para que, sob a carga
, o tubo atenda tanto o limite de tensão quanto o limite de alongamento.
Temos duas condições que a área deve satisfazer:
- Condição de tensão (não exceder
):
Calcule
mínima por tensão:
- Condição de alongamento (não exceder
):
Aqui usamos o comprimento real do tubo
(porque a pergunta (b) diz “se a carga é 127,5 kips” para o tubo com comprimento dado). Calcule:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Concluir qual é a área requerida: a área deve satisfazer ambas as condições, portanto deve ser o maior entre
e
:
Verificação rápida:
- Com
a tensão gerada é
ou seja, dentro do admissível.
- O alongamento é exatamente o limite porque foi calculado para isso:
Força e ânimo: deu trabalho, mas agora você tem as duas respostas e sabe como checar tensão e alongamento numa peça submetida à tração!
Resposta
(a)
(b)