A 4.8-ft-long steel wire of
. diameter is subjected to a
tensile load. Knowing that
, determine the elongation of the wire
Passo 1
Vou listar cuidadosamente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda:
- Comprimento inicial do fio:
. - Diâmetro do fio:
. - Carga axial tensile aplicada:
. - Módulo de Young (módulo de elasticidade):
. - O que se pede: determinar a elongação (variação de comprimento)
do fio provocado pela carga.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, como numa aula rápida):
- Quando um fio cilíndrico está sob uma carga axial
que puxa, aparece uma tensão normal (stress) uniforme, dada por
onde
é a área da secção transversal e
tem unidades de força por área (aqui
).
- A Lei de Hooke na forma uniaxial (para comportamento elástico linear) relaciona tensão e deformação (strain):
onde
é a deformação axial relativa definida por
Aqui
é o módulo de Young e tem unidades compatíveis com
(aqui
).
- Combinando
e obtemos
- Como
, isolando chega-se à fórmula útil:
Explicando as variáveis:
é a força axial (em
),
é o comprimento inicial (em
se
estiver em
),
é área da seção (em
),
é o módulo de Young (em
), e
sai em polegadas (
).
Passo 3
Calcular a área da seção circular do fio (aqui faço passo a passo, sem pular):
- Fórmula da área de um círculo de diâmetro
:
- Substituindo
observa-se que . Portanto
- Para ter um valor numérico aproximado:
Passo 4
Converter o comprimento
para as mesmas unidades do módulo
(já que
está em
, usamos polegadas para
):
-
, logo
Passo 5
Substituir tudo na fórmula
e calcular passo a passo:
- Escrever a substituição com as expressões exatas (uso a forma exata
para facilitar as contas):
- Simplificando o numerador
e multiplicando por (para eliminar a fração em ):
- Fazer a avaliação numérica (mostrando aproximações controladas):
Passo 6
Interpretação final rápida (para sua confiança): o fio alonga cerca de
, que é um valor pequeno, compatível com um material rígido como o aço sob essa carga.