A 4.8-ft-long steel wire of frac{1}{4}-\mathrm{in}. diameter is subjected to a 750-\mathrm{lb} tensile load. Knowing that E=29 \times 10^{6} \mathrm{psi}, determine the elongation of the wire

Passo 1

Vou listar cuidadosamente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda:
  • Comprimento inicial do fio: L=4,8\\ \text{ft}.
  • Diâmetro do fio: d=\dfrac{1}{4}\\ \text{in}.
  • Carga axial tensile aplicada: P=750\\ \text{lb}.
  • Módulo de Young (módulo de elasticidade): E=29\times10^{6}\\ \text{psi}.
  • O que se pede: determinar a elongação (variação de comprimento) \Delta L do fio provocado pela carga.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, como numa aula rápida):
  • Quando um fio cilíndrico está sob uma carga axial P que puxa, aparece uma tensão normal (stress) uniforme, dada por
\sigma=\dfrac{P}{A},
onde A é a área da secção transversal e \sigma tem unidades de força por área (aqui \text{psi}=\text{lb}/\text{in}^2).
  • A Lei de Hooke na forma uniaxial (para comportamento elástico linear) relaciona tensão e deformação (strain):
\sigma=E\varepsilon,
onde \varepsilon é a deformação axial relativa definida por
\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}.
Aqui E é o módulo de Young e tem unidades compatíveis com \sigma (aqui \text{psi}).
  • Combinando \sigma=\dfrac{P}{A} e \sigma=E\varepsilon obtemos
\varepsilon=\dfrac{P}{A E}.
  • Como \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}, isolando \Delta L chega-se à fórmula útil:
\Delta L = \dfrac{P\,L}{A\,E}.
Explicando as variáveis: P é a força axial (em \text{lb}), L é o comprimento inicial (em \text{in} se E estiver em \text{psi}), A é área da seção (em \text{in}^2), E é o módulo de Young (em \text{psi}), e \Delta L sai em polegadas ( \text{in}).

Passo 3

Calcular a área da seção circular do fio (aqui faço passo a passo, sem pular):
  • Fórmula da área de um círculo de diâmetro d:
A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo d=\dfrac{1}{4}\\ \text{in} observa-se que d^{2}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16}. Portanto
A=\dfrac{\pi}{4}\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{\pi}{64}\\ \text{in}^{2}.
  • Para ter um valor numérico aproximado:
A=\dfrac{\pi}{64}\approx 0,049087\\ \text{in}^{2}.

Passo 4

Converter o comprimento L para as mesmas unidades do módulo E (já que E está em \text{psi}=\text{lb}/\text{in}^{2}, usamos polegadas para L):
  • 1\\ \text{ft}=12\\ \text{in}, logo
L=4,8\\ \text{ft}=4,8\times 12=57,6\\ \text{in}.

Passo 5

Substituir tudo na fórmula \Delta L=\dfrac{P L}{A E} e calcular passo a passo:
  • Escrever a substituição com as expressões exatas (uso a forma exata A=\dfrac{\pi}{64} para facilitar as contas):
\Delta L=\dfrac{P\,L}{A\,E} =\dfrac{750\times 57,6}{\left(\dfrac{\pi}{64}\right)\times 29\times 10^{6}}.
  • Simplificando o numerador 750\times 57,6 = 43\,200 e multiplicando por 64 (para eliminar a fração em A):
\Delta L=\dfrac{43\,200\times 64}{29\times 10^{6}\,\pi} =\dfrac{2\,764\,800}{29\times 10^{6}\,\pi}.
  • Fazer a avaliação numérica (mostrando aproximações controladas):
29\times 10^{6}\,\pi \approx 29{,}0\times 10^{6}\times 3{,}14159265 \approx 91{,}106{,}187.
\Delta L \approx \dfrac{2\,764\,800}{91{,}106{,}187}\\ \text{in}\approx 0,03035\\ \text{in}.

Passo 6

Interpretação final rápida (para sua confiança): o fio alonga cerca de 0,03\\ \text{in}, que é um valor pequeno, compatível com um material rígido como o aço sob essa carga.

Resposta

\Delta L=0,03035\\ \text{in}

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