A 4.8-ft-long steel wire of frac{1}{4}-\mathrm{in}. diameter is subjected to a 750-\mathrm{lb} tensile load. Knowing that E=29 \times 10^{6} \mathrm{psi}, determine the corresponding normal stress.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • comprimento do fio: \,4,8\\ \text{ft}\, (não será necessário para a tensão normal);
  • diâmetro do fio: \,d=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}\, (peguei este dado do enunciado);
  • carga axial (tração): \,P=750\\ \text{lb}\, (peguei este dado do enunciado);
  • módulo de Young: \,E=29\times10^{6}\\ \mathrm{psi}\, (peguei este dado do enunciado).
O que o problema pede:
  • determinar a tensão normal correspondente (ou seja, a tensão axial média no fio).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • A tensão normal média em um membro submetido a uma força axial é definida por
\sigma=\frac{P}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão normal média (unidade: \mathrm{psi}, libras por polegada quadrada),
  • P é a força axial (unidade: \mathrm{lb}),
  • A é a área da seção transversal perpendicular à força (unidade: \text{in}^2).
  • Para um fio cilíndrico com diâmetro \,d\,, a área da seção transversal é a área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Explicando cada termo: \pi é a constante geométrica, d é o diâmetro; dividir por 4 vem da fórmula da área do círculo A=\pi r^2 com r=d/2.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal usando d=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}.
  • Substituindo na fórmula:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}}{4}.
  • Simplificando as frações:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}, \qquad \frac{\tfrac{1}{16}}{4}=\frac{1}{64},
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A=\frac{\pi}{64}\\ \text{in}^2.
  • Valor numérico (para cálculo prático):
A=\frac{\pi}{64}\approx 0,049087385\\ \text{in}^2.
(Arredondei a área para 9 casas decimais só para mostrar o valor; na prova três casas significativas já bastam.)

Passo 4

Calcular a tensão usando \sigma=\dfrac{P}{A}.
  • Substituindo P=750\\ \text{lb} e A=\dfrac{\pi}{64}\\ \text{in}^2:
\sigma=\frac{750}{\pi/64}=\frac{750\cdot64}{\pi}=\frac{48000}{\pi}\\ \mathrm{psi}.
  • Valor numérico:
\sigma\approx\frac{48000}{3{,}1415926536}\approx15278{,}9\\ \mathrm{psi}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\sigma\approx1{,}53\times10^{4}\\ \mathrm{psi}.

Passo 5

Interpretação e observações finais (para a prova):
  • A tensão normal média no fio é aproximadamente \,1{,}53\times10^{4}\\ \mathrm{psi}\,.
  • Observação importante: o comprimento do fio e o módulo E foram fornecidos no enunciado, mas para calcular a tensão média \sigma só foi necessária a carga P e a área A. O módulo E seria usado se a questão pedisse a deformação ou elongação do fio.
  • Dica prática: sempre verifique unidades; como P estava em libras e d em polegadas, a tensão sai naturalmente em \mathrm{psi}.

Resposta

\sigma=1{,}5279\times10^{4}\\ \mathrm{psi}

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