(1 ponto) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade de v=\left(0,2 \cdot t^{2}+5 \cdot t\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos. Determine a aceleração da partícula quando t=3 s. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.4 p. 10)

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula em função do tempo e pede a aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • A velocidade é v(t)=\left(0,2\cdot t^{2}+5\cdot t\right)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • O tempo de interesse é t=3\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
  • Determinar a aceleração da partícula quando t=3\\ \mathrm{s}, ou seja, calcular a(3).

Passo 2

Conceito importante (o que é aceleração): a aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem matemática:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa que para achar a aceleração basta derivar a função velocidade em relação a t. Em termos físicos, a unidade será \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (metros por segundo ao quadrado).
Breve ideia do que é derivada (intuição): a derivada \dfrac{dv}{dt} mede o quão rápido v muda quando t muda um pouquinho — é a inclinação da reta tangente ao gráfico v(t). Não precisamos usar a definição por limite aqui porque vamos aplicar regras prontas de derivação.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada da soma é a soma das derivadas: \frac{d}{dt}\big(f(t)+g(t)\big)=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}.
  • Regra da constante multiplicativa: \frac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big)=c\cdot\frac{df}{dt},onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): para n real \frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\cdot t^{n-1}.
Exemplos rápidos:
  • \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • \dfrac{d}{dt}t=1.
  • Se houver uma constante multiplicando, por exemplo 0,2\cdot t^{2}, então \dfrac{d}{dt}(0,2\cdot t^{2})=0,2\cdot 2t=0,4t.

Passo 4

Aplicando as regras à função dada:
v(t)=0,2\cdot t^{2}+5\cdot t.
Derivando termo a termo:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(0,2\cdot t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(5\cdot t\big).
Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
\frac{d}{dt}\big(0,2\cdot t^{2}\big)=0,2\cdot\frac{d}{dt}(t^{2})=0,2\cdot 2t=0,4t,
\frac{d}{dt}\big(5\cdot t\big)=5\cdot\frac{d}{dt}(t)=5\cdot 1=5.
Portanto:
a(t)=0,4t+5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 5

Agora avalia-se a aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}:
a(3)=0,4\cdot 3 + 5 = 1,2 + 5 = 6,2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Pronto — a conta é só multiplicar e somar. Força um pouquinho de paciência no cálculo e já era!

Resposta

6,2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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