(1 ponto) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade de
, onde
é dado em segundos. Determine a aceleração da partícula quando
. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.4 p. 10)
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula em função do tempo e pede a aceleração no instante
.
Informações dadas:
- A velocidade é
. - O tempo de interesse é
.
O que é pedido:
- Determinar a aceleração da partícula quando
, ou seja, calcular .
Passo 2
Conceito importante (o que é aceleração): a aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem matemática:
Isto significa que para achar a aceleração basta derivar a função velocidade em relação a
. Em termos físicos, a unidade será
(metros por segundo ao quadrado).
Breve ideia do que é derivada (intuição): a derivada
mede o quão rápido
muda quando
muda um pouquinho — é a inclinação da reta tangente ao gráfico
. Não precisamos usar a definição por limite aqui porque vamos aplicar regras prontas de derivação.
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da soma é a soma das derivadas:
- Regra da constante multiplicativa:
onde é constante. - Regra da potência (power rule): para
real
Exemplos rápidos:
-
. -
. - Se houver uma constante multiplicando, por exemplo
, então .
Passo 4
Aplicando as regras à função dada:
Derivando termo a termo:
Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
Portanto:
Passo 5
Agora avalia-se a aceleração no instante
:
Pronto — a conta é só multiplicar e somar. Força um pouquinho de paciência no cálculo e já era!