Uma aluna usando uma aliança de ouro de 15,0 \mathrm{~g} com raio de 0,750 \mathrm{~cm} (e com um resistência de 61,9 \mu \Omega e um calor específico de \mathrm{c}=129 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} ) em seu dedo move o mesmo de uma região com um campo magnético de 0,0800 \mathrm{~T}, apontando ao longo de seu dedo, para uma região com campo magnético zero em 40,0 ms. Como resultado desta ação, energia térmica é dissipada na aliança devido à corrente induzida, aumentando sua temperatura. Calcule o aumento de temperatura na aliança, assumindo que toda a energia produzida é utilizada para aumentar a temperatura. (Resposta em 10^{-5^{\circ}} \mathrm{C} e com duas casas decimais) \square

Passo 1

O enunciado dá uma aliança de ouro de massa m=15{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}015\\ \mathrm{kg}, raio r=0{,}750\\ \mathrm{cm}=7{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, resistência R=61{,}9\\ \mu\Omega=6{,}19\times10^{-5}\\ \Omega, calor específico c=129\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}. Ela sai de uma região com campo magnético B=0{,}0800\\ \mathrm{T} (ao longo do eixo do anel) para B=0 em \Delta t=40{,}0\\ \mathrm{ms}=4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{s}. Pelo movimento, surge uma corrente induzida que dissipa energia térmica na aliança. Vamos usar a lei de Faraday e a conservação de energia térmica para achar o aumento de temperatura \Delta T.

Passo 2

A variação de fluxo magnético é \Delta\Phi = BA, onde A é a área do anel:
A = \pi r^2.
Como \Delta B/\Delta t é constante, a força eletromotriz induzida tem módulo
\varepsilon = \bigl|\tfrac{d\Phi}{dt}\bigr| = \frac{B\,A}{\Delta t}.
A potência dissipada é P=\varepsilon^2/R e, como \varepsilon é constante, a energia total liberada em \Delta t é
E = P\,\Delta t = \frac{\varepsilon^2}{R}\,\Delta t = \frac{(A\,B)^2}{R\,\Delta t}.

Passo 3

Calculando numericamente:
r=7{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m} \quad\Rightarrow\quad A = \pi\,(7{,}50\times10^{-3})^2 = 1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
(A\,B)^2 = (1{,}767\times10^{-4}\times0{,}0800)^2 = 1{,}999\times10^{-10}\\ (\mathrm{T\cdot m^2})^2,
R\,\Delta t = 6{,}19\times10^{-5}\\ \Omega \times 4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{s} = 2{,}476\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{s},
E = \frac{1{,}999\times10^{-10}}{2{,}476\times10^{-6}} = 8{,}075\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Supondo que toda a energia E vá para aquecer a aliança, temos
E = m\,c\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \frac{E}{m\,c} = \frac{8{,}075\times10^{-5}}{0{,}015\times129} =4{,}18\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\Delta T =4{,}18\times10^{-5}{}^\circ\mathrm{C} (em unidades de 10^{-5}{}^\circ\mathrm{C}, valor 4{,}18).

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