Tendo acabado de aprender que há energia associada a campos magnéticos, um inventor se propõe a explorar a energia associada a estes campos. Qual volume do espaço próximo à superfície da Terra contém 1,00 \mathrm{~J} de energia, supondo que a intensidade do campo magnético seja 5,00 \times 10^{-5} \mathrm{~T} ? (Resposta em 10^{3} \mathrm{~m}^{3} e com duas casas decimais) \square

Passo 1

O enunciado pede o volume V de espaço onde o campo magnético da Terra armazena energia U = 1{,}00\\ \mathrm{J}, sabendo que a intensidade do campo é B = 5{,}00 \times 10^{-5}\\ \mathrm{T}. O conteúdo usado aqui é a densidade de energia de um campo magnético, dado pela expressão
u = \frac{B^2}{2\mu_{0}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.

Passo 2

Escrevemos a densidade de energia magnética:
u = \frac{B^2}{2\mu_{0}},
com \mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2} no SI. Essa densidade tem unidades de joule por metro cúbico \bigl(\mathrm{J/m^3}\bigr).

Passo 3

Para que o volume V armazene energia total U, temos
U = u \, V \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{U}{u} = \frac{U}{B^2/(2\mu_{0})} = \frac{2\,\mu_{0}\,U}{B^2}.

Passo 4

Substituindo U = 1{,}00\\ \mathrm{J}, B = 5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T} e \mu_{0} = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}:
V = \frac{2\,(4\pi\times10^{-7})\,(1{,}00)}{(5{,}00\times10^{-5})^2} = \frac{8\pi\times10^{-7}}{25\times10^{-10}} = \frac{8\pi}{2{,}5}\times10^2 \approx 3{,}2\pi\times10^2 \approx 1{,}005\times10^3\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

O enunciado quer a resposta em unidades de 10^3\\ \mathrm{m^3} e com duas casas decimais. Em 10^3\\ \mathrm{m^3}, o volume vale
V \approx 1{,}005\times10^3\\ \mathrm{m^3} \longrightarrow 1{,}01\\ (\text{em }10^3\\ \mathrm{m^3}),
arredondado com duas casas decimais.

Resposta

1{,}01 (em 10^3\\ \mathrm{m^3})

Exercícios relacionados