Para \mathrm{m}=250 \mathrm{~g}, \mathrm{k}=85 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \mathrm{b}=79 \mathrm{~g} / \mathrm{s}, determine:
Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica do sistema se reduza à metade do valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido com massa m=250\\ \mathrm{g}, constante elástica k=85\\ \mathrm{N/m} e coeficiente de amortecimento b=79\\ \mathrm{g/s}. Pede-se o tempo até a energia mecânica cair à metade do valor inicial. O conteúdo é o decaimento exponencial da energia em um oscilador subamortecido.

Passo 2

Em um oscilador massa–mola com amortecimento viscoso linear, a equação de movimento leva a um decaimento da amplitude dado por
x(t)=X_0\,e^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\varphi),
onde \omega é a frequência amortecida. Como a energia mecânica é proporcional ao quadrado da amplitude, temos
E(t)=E_0\,e^{-\frac{b}{m}t}.

Passo 3

Para que E(t)=\tfrac12\,E_0 basta resolver
e^{-\frac{b}{m}t}=\tfrac12
o que implica
-\frac{b}{m}t=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{m}{b}\,\ln 2.

Passo 4

Convertendo as unidades para o SI:
m=250\\ \mathrm{g}=0{,}25\\ \mathrm{kg}, \quad b=79\\ \mathrm{g/s}=0{,}079\\ \mathrm{kg/s}.
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t=\frac{0{,}25}{0{,}079}\,\ln 2 \approx3{,}1646\times0{,}6931 \approx2{,}19\\ \mathrm{s}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 2{,}2 segundos.

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