Um aluno mergulha uma extremidade de certa barra de cobre na água fervendo a 100^{\circ} \mathrm{C} e a outra extremidade em uma mistura de água e gelo a 0,000{ }^{\circ} \mathrm{C}. Os lados das barras são isolados. Depois que o estado estacionário é atingido na barra, ocorre a fusão de 0,174 \mathrm{~kg} de gelo em certo intervalo de tempo. Considere este intervalo de tempo e o calor de fusão da água L_{f}=3,34 \times 10^{5} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}
(a) Calcule a variação de entropia da água que estava fervendo. (b) Calcule a variação de entropia da mistura água e gelo. (c) Calcule a variação total de entropia do sistema. ( 0{ }^{\circ} \mathrm{C}=273 \mathrm{~K} )

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a variação de entropia da água que estava fervendo; (b) a variação de entropia da mistura água+gelo; (c) a variação total de entropia do sistema.\n
Dados fornecidos:
m = 0,174\\ \mathrm{kg}
L_f = 3,34\times 10^{5}\\ \mathrm{J/kg}
Temperaturas (converter para kelvin):
T_{\text{quente}} = 100^{\circ}\mathrm{C} = 373\\ \mathrm{K}
T_{\text{frio}} = 0{,}000^{\circ}\mathrm{C} = 273\\ \mathrm{K}
Observação importante retirada do enunciado: durante o intervalo considerado ocorre a fusão de m de gelo. Os lados da barra são isolados e o estado estacionário foi atingido (fluxo térmico constante). Vamos usar apenas as informações acima; não há necessidade de conhecer detalhes da barra de cobre para calcular as variações de entropia das reservas térmicas.

Passo 2

Primeiro calculamos a quantidade de calor Q transferida do banho a 100^{\circ}\mathrm{C} para fundir o gelo. Esse calor é a energia necessária para a fusão:
Q = m\,L_f
Substituindo os valores:
Q = 0,174 \times 3,34\times 10^{5}\\ \mathrm{J} = 5,8116\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
Arredondando razoavelmente pelos algarismos significativos:
Q \approx 5,81\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Explicação didática: L_f é a energia (em J) necessária para fundir 1\\ \mathrm{kg} de gelo à temperatura de fusão; multiplicando por m obtemos a energia total absorvida pelo gelo.

Passo 3

Agora usamos o conceito de variação de entropia de um reservatório térmico que troca calor Q de forma aproximadamente isoterma. Para um corpo mantido a temperatura constante T, a variação de entropia associada a uma troca de calor reversível é
\Delta S = \frac{Q}{T}.
No caso do banho fervente (fonte quente), ele perde calor Q. Logo a variação de entropia da água fervente é
\Delta S_{\text{quente}} = -\frac{Q}{T_{\text{quente}}}.
Explicação didática: o sinal negativo aparece porque o reservatório quente perde energia; entropia diminui quando um corpo cede calor a temperatura constante.

Passo 4

Cálculo numérico de \Delta S_{\text{quente}}:
\Delta S_{\text{quente}} = -\frac{5,8116\times 10^{4}}{373}\\ \mathrm{J/K} \approx -155{,}8\\ \mathrm{J/K}.
Mostrando os passos da conta: dividir 5,8116\times10^{4} por 373 dá aproximadamente 155{,}8, com sinal negativo porque o calor sai do reservatório quente.

Passo 5

Para a mistura água+gelo (reservatório frio) o gelo funde recebendo o calor Q à temperatura constante T_{\text{frio}}. Portanto a variação de entropia desse reservatório é
\Delta S_{\text{frio}} = +\frac{Q}{T_{\text{frio}}}.
Explicação didática: ao receber calor a temperatura constante, a entropia do reservatório aumenta; para fusão isoterma usamos a mesma fórmula \Delta S = Q/T.

Passo 6

Cálculo numérico de \Delta S_{\text{frio}}:
\Delta S_{\text{frio}} = \frac{5,8116\times 10^{4}}{273}\\ \mathrm{J/K} \approx 212{,}9\\ \mathrm{J/K}.
Detalhe da conta: dividir 5,8116\times10^{4} por 273 dá aproximadamente 212{,}9.

Passo 7

A variação total de entropia do sistema (reservatório quente + reservatório frio) é a soma:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{quente}} + \Delta S_{\text{frio}}.
Substituindo os valores calculados:
\Delta S_{\text{total}} \approx -155{,}8 + 212{,}9\\ \mathrm{J/K} \approx 57{,}1\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação didática: resultado positivo conforme a segunda lei da termodinâmica — ao transferir calor espontaneamente de T maior para T menor gera-se entropia líquida positiva. Observação sobre a barra de cobre: em estado estacionário a entropia da barra não se altera globalmente (cada elemento recebe e cede calor continuamente), por isso a variação total do sistema é dada pela soma acima.

Resposta

(a) -155{,}8\\ \mathrm{J/K}\n
(b) 212{,}9\\ \mathrm{J/K}\n
(c) 57{,}1\\ \mathrm{J/K}

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