Um homem de massa m está em uma escada pendurada em um balão que tem massa total M (incluindo o passageiro na cesta e a escada). O balão está inicialmente em repouso em relação ao solo. Se o homem na escada começa a subi-la com velocidade Vrel em relação à mesma,
(a) em que sentido e
(b) com que velocidade o balão se move?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante? Justifique suas respostas.
(a) em que sentido e
(b) com que velocidade o balão se move?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
- Um homem de massa
está sobre uma escada pendurada em um balão. - A massa total do sistema balão+escada+passageiro (ou seja, do conjunto) é
. (Observação: o enunciado diz que inclui o homem e a escada.) - Inicialmente o conjunto está em repouso em relação ao solo.
- O homem começa a subir a escada com velocidade
em relação à escada (velocidade relativa homem→escada).
Perguntas:
(a) Em que sentido o balão se move quando o homem sobe?
(b) Com que velocidade (em módulo e sentido) o balão se move nesse instante?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante?
(a) Em que sentido o balão se move quando o homem sobe?
(b) Com que velocidade (em módulo e sentido) o balão se move nesse instante?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar e justificativa das hipóteses.
- Vamos usar a ideia do movimento do centro de massa do sistema. Se o balão estava inicialmente em repouso e flutuando em equilíbrio, isso significa que a força de empuxo do ar é igual ao peso total do sistema; assim o resultado das forças externas verticais é nulo inicialmente. Sob essa condição (força externa resultante vertical nula) a posição do centro de massa do sistema não muda por causa de movimentos internos: enquanto considerarmos o movimento instantâneo provocado apenas por forças internas entre homem e escada/balão, o centro de massa permanece com velocidade nula. Essa é a hipótese usual e adequada para este problema idealizado.
- Em termos práticos: assumimos que o empuxo continua praticamente igual ao peso total durante o deslocamento interno (ou que o processo é suficientemente rápido/pequeno para que o resultado seja que o centro de massa não adquire velocidade instantânea).
Passo 3
Definições de variáveis e convenções de sinal (muito importante).
- Vamos tomar o eixo vertical
positivo para cima. - Denotemos por
a velocidade do balão (e da escada) em relação ao solo; é uma função do tempo, mas queremos o valor instantâneo enquanto o homem sobe com velocidade relativa constante. - Denotemos por
a velocidade do homem em relação ao solo. - A velocidade relativa dada no enunciado é
, que por definição é a velocidade do homem em relação à escada. Portanto vale a relação
Aqui tomei
positivo quando o homem sobe para cima relativo à escada.
Passo 4
Escrever a posição do centro de massa e sua velocidade.
- A posição do centro de massa
do conjunto (homem + restante do balão) pode ser escrita como média ponderada:
onde
é a posição do homem e
é a posição do balão (ou da escada), e lembrando que
é a massa total do sistema.
- Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade do centro de massa:
Passo 5
Aplicar a condição física (centro de massa não se move) e usar a relação velocidade relativa.
- Pelo argumento do Passo 2, no instante considerado o centro de massa não tem velocidade:
. - Substituindo
na expressão do passo anterior:
- Multiplicando por
e substituindo (do Passo 3) obtemos
Passo 6
Resolver a equação para
.
- Expandindo:
- Agrupando os termos em
:
- Isolando
:
Passo 7
Interpretação do sinal e do módulo (respostas às perguntas (a) e (b)).
- O sinal negativo em
(com a convenção para cima positiva) indica que o balão se move no sentido oposto ao movimento do homem. Portanto, se o homem sobe para cima em relação à escada ( ), o balão desloca-se para baixo. - O módulo da velocidade do balão é
Assim, numericamente a velocidade do balão é
para baixo.
Passo 8
Resposta à pergunta (c): quando o homem para de subir.
- Se o homem para de subir, então
. - Substituindo em
obtemos . - Ou seja: no instante em que o homem pára o movimento relativo, o balão também tem velocidade zero nesse instante (o conjunto fica momentaneamente em repouso novamente). Isso é consistente com a conservação da posição do centro de massa enquanto só houver forças internas alterando a distribuição de massa.
Resposta
(a) O balão move-se no sentido oposto ao homem (isto é, se o homem sobe, o balão desce).
(b) (portanto o balão desce com velocidade de módulo
).
(c) .
(b)
(c)