Um homem de massa m está em uma escada pendurada em um balão que tem massa total M (incluindo o passageiro na cesta e a escada). O balão está inicialmente em repouso em relação ao solo. Se o homem na escada começa a subi-la com velocidade Vrel em relação à mesma,
(a) em que sentido e
(b) com que velocidade o balão se move?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante? Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
  • Um homem de massa \,m está sobre uma escada pendurada em um balão.
  • A massa total do sistema balão+escada+passageiro (ou seja, do conjunto) é \,M. (Observação: o enunciado diz que \,M inclui o homem e a escada.)
  • Inicialmente o conjunto está em repouso em relação ao solo.
  • O homem começa a subir a escada com velocidade \,V_{\text{rel}} em relação à escada (velocidade relativa homem→escada).
Perguntas:
(a) Em que sentido o balão se move quando o homem sobe?
(b) Com que velocidade (em módulo e sentido) o balão se move nesse instante?
(c) Se o homem para de subir, qual é a velocidade do balão nesse instante?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar e justificativa das hipóteses.
  • Vamos usar a ideia do movimento do centro de massa do sistema. Se o balão estava inicialmente em repouso e flutuando em equilíbrio, isso significa que a força de empuxo do ar é igual ao peso total do sistema; assim o resultado das forças externas verticais é nulo inicialmente. Sob essa condição (força externa resultante vertical nula) a posição do centro de massa do sistema não muda por causa de movimentos internos: enquanto considerarmos o movimento instantâneo provocado apenas por forças internas entre homem e escada/balão, o centro de massa permanece com velocidade nula. Essa é a hipótese usual e adequada para este problema idealizado.
  • Em termos práticos: assumimos que o empuxo continua praticamente igual ao peso total durante o deslocamento interno (ou que o processo é suficientemente rápido/pequeno para que o resultado seja que o centro de massa não adquire velocidade instantânea).

Passo 3

Definições de variáveis e convenções de sinal (muito importante).
  • Vamos tomar o eixo vertical y positivo para cima.
  • Denotemos por \,v_b a velocidade do balão (e da escada) em relação ao solo; é uma função do tempo, mas queremos o valor instantâneo enquanto o homem sobe com velocidade relativa constante.
  • Denotemos por \,v_m a velocidade do homem em relação ao solo.
  • A velocidade relativa dada no enunciado é \,V_{\text{rel}}, que por definição é a velocidade do homem em relação à escada. Portanto vale a relação
v_m = v_b + V_{\text{rel}}.
Aqui tomei V_{\text{rel}} positivo quando o homem sobe para cima relativo à escada.

Passo 4

Escrever a posição do centro de massa e sua velocidade.
  • A posição do centro de massa y_{CM} do conjunto (homem + restante do balão) pode ser escrita como média ponderada:
y_{CM}=\frac{m\,y_m + (M-m)\,y_b}{M},
onde y_m é a posição do homem e y_b é a posição do balão (ou da escada), e lembrando que \,M é a massa total do sistema.
  • Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade do centro de massa:
v_{CM}=\frac{m\,v_m + (M-m)\,v_b}{M}.

Passo 5

Aplicar a condição física (centro de massa não se move) e usar a relação velocidade relativa.
  • Pelo argumento do Passo 2, no instante considerado o centro de massa não tem velocidade: v_{CM}=0.
  • Substituindo v_{CM}=0 na expressão do passo anterior:
0=\frac{m\,v_m + (M-m)\,v_b}{M}.
  • Multiplicando por \,M e substituindo v_m = v_b + V_{\text{rel}} (do Passo 3) obtemos
0 = m\,(v_b + V_{\text{rel}}) + (M-m)\,v_b.

Passo 6

Resolver a equação para \,v_b.
  • Expandindo:
0 = m v_b + m V_{\text{rel}} + (M-m) v_b.
  • Agrupando os termos em v_b:
0 = (m + M - m)\,v_b + m V_{\text{rel}} = M\,v_b + m V_{\text{rel}}.
  • Isolando \,v_b:
v_b = -\frac{m}{M}\,V_{\text{rel}}.

Passo 7

Interpretação do sinal e do módulo (respostas às perguntas (a) e (b)).
  • O sinal negativo em \,v_b (com a convenção para cima positiva) indica que o balão se move no sentido oposto ao movimento do homem. Portanto, se o homem sobe para cima em relação à escada ( V_{\text{rel}}>0), o balão desloca-se para baixo.
  • O módulo da velocidade do balão é
\left|v_b\right|=\frac{m}{M}\,V_{\text{rel}}.
Assim, numericamente a velocidade do balão é \dfrac{m}{M}V_{\text{rel}} para baixo.

Passo 8

Resposta à pergunta (c): quando o homem para de subir.
  • Se o homem para de subir, então \,V_{\text{rel}}=0.
  • Substituindo em \,v_b = -\dfrac{m}{M}V_{\text{rel}} obtemos \,v_b=0.
  • Ou seja: no instante em que o homem pára o movimento relativo, o balão também tem velocidade zero nesse instante (o conjunto fica momentaneamente em repouso novamente). Isso é consistente com a conservação da posição do centro de massa enquanto só houver forças internas alterando a distribuição de massa.

Resposta

(a) O balão move-se no sentido oposto ao homem (isto é, se o homem sobe, o balão desce).
(b) \;v_b=-\dfrac{m}{M}\,V_{\text{rel}} (portanto o balão desce com velocidade de módulo \dfrac{m}{M}V_{\text{rel}}).
(c) \;v_b=0.

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