Uma máquina de Carnot tem a temperatura do reservatório quente em 126^{\circ} \mathrm{C} e uma eficiência de 21,2 \%.
(a) Calcule a variação de temperatura da fonte fria se a eficiência for aumentada para 65,4 \%.

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de Carnot com temperatura do reservatório quente igual a \,126^\circ\mathrm{C}\, e eficiência inicial \,21,2\%\,. Pede-se a variação de temperatura da fonte fria quando a eficiência é aumentada para \,65,4\%\,.
Informações relevantes listadas:
T_H = 126^\circ\mathrm{C},\quad \eta_1 = 21,2\%,\quad \eta_2 = 65,4\%.

Passo 2

Conceito importante (a “aula rápida”): a eficiência de uma máquina térmica de Carnot depende apenas das temperaturas absolutas (Kelvin) dos reservatórios e é dada por
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • \eta é a eficiência (número adimensional; ex.: 0{,}212 para 21{,}2\%),
  • T_H é a temperatura do reservatório quente em Kelvin,
  • T_C é a temperatura do reservatório frio em Kelvin.
    Isolando T_C obtemos a fórmula que vamos usar:
T_C = T_H(1-\eta).
Explicando: a eficiência aumenta quando a diferença entre T_H e T_C aumenta (em Kelvin). Por isso precisamos converter Celsius para Kelvin antes de aplicar a fórmula.

Passo 3

Converter \,T_H de Celsius para Kelvin. A relação é
T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Logo
T_H = 126 + 273{,}15 = 399{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a temperatura fria inicial \,T_{C1} usando \eta_1=21{,}2\%=0{,}212 e a fórmula \,T_C = T_H(1-\eta):
T_{C1} = 399{,}15\cdot(1-0{,}212)=399{,}15\cdot 0{,}788 = 314{,}5302\\ \mathrm{K}.
Mostrando a conta: 399{,}15\times 0{,}788 = 314{,}5302.

Passo 5

Converter \,T_{C1} para Celsius:
T_{C1}(^\circ\mathrm{C}) = 314{,}5302 - 273{,}15 = 41{,}3802^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: T_{C1}\approx 41{,}38^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a nova temperatura fria \,T_{C2} para \eta_2=65{,}4\%=0{,}654:
T_{C2} = 399{,}15\cdot(1-0{,}654)=399{,}15\cdot 0{,}346 = 138{,}1059\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Converter \,T_{C2} para Celsius:
T_{C2}(^\circ\mathrm{C}) = 138{,}1059 - 273{,}15 = -135{,}0441^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: T_{C2}\approx -135{,}04^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular a variação de temperatura da fonte fria:
\Delta T_C = T_{C2} - T_{C1} = -135{,}0441 - 41{,}3802 = -176{,}4243^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a variação é negativa, ou seja, a fonte fria precisa ser resfriada (queda) de aproximadamente 176{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\Delta T_C = -176{,}4^\circ\mathrm{C} (queda de 176{,}4^\circ\mathrm{C}).

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