Aluno: \qquad Plebra Pintina Heres Monques Turno:ManhiPata:30 10^{7} 12025 : ManhiData:30 10^{7} 12025 1-Água \left(\mu=1,15 \times 10^{-3} \mathrm{~N} \times \mathrm{s}^{2} \mathrm{~m}^{2}\right) escoa entre duas placas planas paralelas fixas espaçadas por uma distância 2 \mathrm{~h}= 0,5 \mathrm{~cm}. A distribuição de velocidade para esse caso é dada por
u=u_{\text {max }}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^{2}\right]
Onde u_{\text {máx }}=0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}á. Sabendo que a origem está situada na linha mediana que separa as placas e considerando a água como um fluido newtoniano, calcule a tensão de cisalhamento na placa superior. Repita esse mesmo problema para um óleo cuja viscosidade seja de 6,15 \times 10^{-2} \mathrm{~N} \times \mathrm{s}^{2} \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de um fluido newtoniano (água) entre duas placas planas paralelas fixas, separadas por 2h=0,5 cm. A origem y=0 fica na linha mediana e o perfil de velocidade é
u = u_{\max}\Bigl[1 - \Bigl(\frac{y}{h}\Bigr)^{2}\Bigr],
com u_{\max}=0,15 m/s. Pedem a tensão de cisalhamento na placa superior y=h. Depois repetimos para um óleo com \mu=6,15\times10^{-2} P a\cdot s.

Passo 2

Num fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{du}{dy}.
Derivando o perfil,
\frac{du}{dy} = u_{\max}\,\frac{d}{dy}\Bigl[1 - \tfrac{y^{2}}{h^{2}}\Bigr] = -2\,u_{\max}\,\frac{y}{h^{2}}.
Em y=h fica
\frac{du}{dy}\Bigl|_{y=h} = -2\,\frac{u_{\max}}{h},
logo o módulo da tensão na parede é
\tau_{w} = \bigl|\mu\,\tfrac{du}{dy}\bigr|_{y=h} = 2\,\mu\,\frac{u_{\max}}{h}.

Passo 3

Para a água, \mu=1,15\times10^{-3} P a\cdot s e
h=\frac{0,5\text{ cm}}{2}=0,25\text{ cm}=2,5\times10^{-3}\text{ m}.
Substituindo,
\tau_{\text{água}} =2\times(1,15\times10^{-3})\times\frac{0,15}{2,5\times10^{-3}} =\frac{2\times1,15\times10^{-3}\times0,15}{2,5\times10^{-3}} \approx0,138\text{ Pa}.á

Passo 4

Para o óleo, \mu=6,15\times10^{-2} P a\cdot s, mesmo h e u_{\max}. Então
\tau_{\text{óleo}} =2\times(6,15\times10^{-2})\times\frac{0,15}{2,5\times10^{-3}} \approx7,38\text{ Pa}.ó

Resposta

água: \tau_{\text{água}}\approx0,138á Pa
óleo: \tau_{\text{óleo}}\approx7,38ó Pa

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