(Questão \mathbf{5 - 3 , 0} pontos) Aletas anulares de cobre ( \mathrm{k}_{\text {cobre }}=215 \mathrm{BTU} /\left(\mathrm{h} . \mathrm{ft} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right) ) de diâmetro externo de 3 " são colocadas num tubo de diâmetro externo de 1 ". As aletas possuem espessura de 0,10 ". A superfície do tubo está a 450^{\circ} \mathrm{F} e o fluido circundante possui temperatura de 70^{\circ} \mathrm{F}. Calcule a perda de calor de uma única aleta se \mathrm{h}=240 \mathrm{BTU} /\left(\mathrm{h} . \mathrm{ft}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{F}\right). Se necessário, use a conversão 12 " =1 \mathrm{ft} ; 1 \mathrm{ft} =0,3048 \mathrm{~m} ; 1 \mathrm{BTU}=1055 \mathrm{~J} .1^{\circ} \mathrm{C} / 5=\left({ }^{\circ} \mathrm{F}-32\right) / 9.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de calor dissipado por uma aleta anular de cobre (fin radial cilíndrico) de diâmetros interno e externo dados, submetida a convecção sobre suas faces e extremidade. O conteúdo envolve a formulação do balanço de energia em coordenadas radiais para uma aleta cilíndrica e a solução da EDO
\frac{d}{dr}\!\Bigl(kA_c(r)\,\frac{dT}{dr}\Bigr)\;-\;hP(r)\,(T-T_\infty)\;=\;0
com condicionantes adequadas. Vamos usar a solução geral em função de funções de Bessel modificadas e impor as condições de contorno para obter q.

Passo 2

Definimos as dimensões em pés:
r_i = \frac{0,5''}{12} = 0{,}041667\\ \text{ft}, \quad r_o = \frac{1,5''}{12} = 0{,}125\\ \text{ft}, \quad W = \frac{0,10''}{12} = 0{,}008333\\ \text{ft}.
A área para condução em r é
A_c(r) = 2\pi r\,W,
e o perímetro de convecção sobre faces (duas faces) é
P(r) = 4\pi r.

Passo 3

A EDO para aleta radial cilíndrica fica
\frac{d^2\theta}{dr^2} + \frac{1}{r}\,\frac{d\theta}{dr} - m^2\,\theta = 0,
onde \theta(r)=T(r)-T_\infty e
m^2 = \frac{h\,P(r)}{k\,A_c(r)} = \frac{2h}{k\,W}.
Substituindo h=240, k=215, W=0{,}008333, obtemos
m = \sqrt{\frac{2\cdot240}{215\cdot0{,}008333}} \approx 16{,}37\\ \text{ft}^{-1}.

Passo 4

A solução geral é
\theta(r) = C_1\,I_0(mr) + C_2\,K_0(mr).
As condições de contorno são:
\theta(r_i)=T_s-T_\infty = 450-70 = 380,
e no extremo r=r_o, tip convectivo dá
\left.\frac{d\theta}{dr}\right|_{r_o} = -\frac{h}{k}\,\theta(r_o).

Passo 5

O calor extraído pela aleta é
q_f = -k\,A_c(r_i)\,\left.\frac{d\theta}{dr}\right|_{r_i} = -\,k\,(2\pi r_iW)\,\theta'(r_i).
Após resolver para C_1,C_2 e simplificar, obtém‐se a expressão conhecida (fin efficiency radial)
q_f = 2\pi k W\,\theta(r_i)\,r_i\,m \;\frac{K_1(mr_i)\,I_1(mr_o)\;-\;I_1(mr_i)\,K_1(mr_o)} {K_0(mr_i)\,I_1(mr_o)\;+\;I_0(mr_i)\,K_1(mr_o)}.

Passo 6

Calculamos m\,r_i\approx0{,}682, m\,r_o\approx2{,}046 e tabelamos:
\begin{aligned} I_0(0{,}682)\approx1{,}12,\quad &I_1(0{,}682)\approx0{,}36,\\\ K_0(0{,}682)\approx0{,}62,\quad &K_1(0{,}682)\approx1{,}13,\\\ I_0(2{,}046)\approx2{,}35,\quad &I_1(2{,}046)\approx1{,}60,\\\ K_0(2{,}046)\approx0{,}11,\quad &K_1(2{,}046)\approx0{,}14. \end{aligned}
Dessa forma o fator
F = \frac{K_1(mr_i)I_1(mr_o)-I_1(mr_i)K_1(mr_o)} {K_0(mr_i)I_1(mr_o)+I_0(mr_i)K_1(mr_o)} \approx1{,}53.

Passo 7

Finalmente
q_f =2\pi\,(215)\,(0{,}008333)\,(380)\,(0{,}041667)\,(16{,}37)\,(1{,}53) \approx4{,}46\times10^3\\ \mathrm{BTU/h}.

Resposta

A perda de calor de uma única aleta é aproximadamente
q_f \approx 4{,}46\times10^3\\ \mathrm{BTU/h}.

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