Se ambas as inércia e rapidez rotacional de um objeto dobram, pode-se afirmar que sua energia cinética rotacional:
a) Permanece constante
b) Duplica
c) Aumenta por um fator de 4
d) Aumenta por um fator de 8
e) Cai pela metade
f) Cai por um fator de 1 / 4
g) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado apresenta um cenário onde a inércia rotacional (momento de inércia) de um objeto dobra ( I' = 2I) e sua rapidez rotacional (velocidade angular) também dobra ( \omega' = 2\omega). A questão pede para determinar como a energia cinética rotacional do objeto é afetada, escolhendo a alternativa correta dentre as opções fornecidas.

Passo 2

A energia cinética de rotação de um corpo rígido é dada por:
K = \tfrac{1}{2}\,I\,\omega^{2},
onde:
  • \,K é a energia cinética rotacional (em joules, J),
  • \,I é o momento de inércia (em \mathrm{kg\cdot m^{2}}),
  • \,\omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
Em termos simples: K cresce linearmente com I e com o quadrado de \omega.

Passo 3

Qualitativamente, dobrar I implica um fator de 2 na energia, enquanto dobrar \omega implica um fator de 2^{2}=4. Combinando ambos os efeitos, temos um fator de 2\times4=8. A seguir, a demonstração algébrica.

Passo 4

Algebricamente:
  • Energia inicial:
K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2}.
  • Após as mudanças ( \,I' = 2I e \,\omega' = 2\omega), a nova energia é:
K' = \tfrac{1}{2} I' \omega'^{2} = \tfrac{1}{2}\,(2I)\,(2\omega)^{2}.
  • Simplificando:
K' = \tfrac{1}{2}\,(2I)\,(4\omega^{2}) = \tfrac{1}{2}\cdot 8\,I\omega^{2} = 4\,I\omega^{2}.
  • Comparando com K:
\frac{K'}{K}=\frac{4I\omega^{2}}{\tfrac{1}{2}I\omega^{2}}=\frac{4}{1/2}=8.
Portanto, K' = 8\,K: a energia cinética rotacional aumenta por um fator de 8.

Passo 5

Intuitivamente, dobrar a velocidade angular tem um impacto maior na energia devido ao termo quadrático, contribuindo com um fator de 4. Dobrar o momento de inércia adiciona um fator de 2. O produto desses fatores é 8. Portanto, a alternativa correta é aquela que indica que a energia aumenta por um fator de 8.

Resposta

d) Aumenta por um fator de 8

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