Se ambas as inércia e rapidez rotacional de um objeto dobram, pode-se afirmar que sua energia cinética rotacional:
a) Permanece constante
b) Duplica
c) Aumenta por um fator de 4
d) Aumenta por um fator de 8
e) Cai pela metade
f) Cai por um fator de
g) Nenhuma das anteriores
a) Permanece constante
b) Duplica
c) Aumenta por um fator de 4
d) Aumenta por um fator de 8
e) Cai pela metade
f) Cai por um fator de
g) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado apresenta um cenário onde a inércia rotacional (momento de inércia) de um objeto dobra (
) e sua rapidez rotacional (velocidade angular) também dobra (
). A questão pede para determinar como a energia cinética rotacional do objeto é afetada, escolhendo a alternativa correta dentre as opções fornecidas.
Passo 2
A energia cinética de rotação de um corpo rígido é dada por:
onde:
-
é a energia cinética rotacional (em joules, J), -
é o momento de inércia (em ), -
é a velocidade angular (em ).
Em termos simples:
cresce linearmente com
e com o quadrado de
.
Passo 3
Qualitativamente, dobrar
implica um fator de 2 na energia, enquanto dobrar
implica um fator de
. Combinando ambos os efeitos, temos um fator de
. A seguir, a demonstração algébrica.
Passo 4
Algebricamente:
- Energia inicial:
- Após as mudanças (
e ), a nova energia é:
- Simplificando:
- Comparando com
:
Portanto,
: a energia cinética rotacional aumenta por um fator de 8.
Passo 5
Intuitivamente, dobrar a velocidade angular tem um impacto maior na energia devido ao termo quadrático, contribuindo com um fator de 4. Dobrar o momento de inércia adiciona um fator de 2. O produto desses fatores é 8. Portanto, a alternativa correta é aquela que indica que a energia aumenta por um fator de 8.
Resposta
d) Aumenta por um fator de 8