Considere um sistema isolado constituído por um grande número
de partículas de spin-1/2 que interagem muito fracamente entre si. Cada partícula possui um momento magnético
que pode apontar tanto paralelamente quanto antiparalelamente a um campo aplicado
. A energia
do sistema é então
, onde
é o número de spins alinhados paralelamente a
e
é o número de spins alinhados antiparalelos a
. (a) Considere a faixa de energia entre
e
, em que
é muito pequeno em comparação com
, mas microscopicamente grande o suficiente, de modo que seja
. Qual é o número total de estados
situados nesta faixa de energia? (b) Escreva uma expressão para
como uma função de
. Simplifique esta expressão aplicando a fórmula de Stirling em sua forma mais simples. (c) Suponha que a energia
está em uma região onde
é considerável, isto é, que não está perto dos valores extremos
. Neste caso, aplique uma aproximação Gaussiana à expressão obtida na parte (a) para obter uma expressão simples para
como uma função de
.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede três coisas:
- Temos
partículas (grande ), cada uma com spin-1/2. - Cada partícula tem momento magnético
que pode apontar paralelamente ou antiparalelamente a um campo externo . - Se
é o número de spins paralelos a e o número antiparalelo, então a energia do sistema é
- Além disso
.
As perguntas do enunciado são:
(a) Para a faixa de energia entre e
(com
microscopicamente grande,
, mas pequena comparada a
), qual é o número total de estados
nessa faixa?
(b) Escrever uma expressão para em função de
e simplificá‑la usando a fórmula de Stirling (forma mais simples).
(c) Para não muito próximo dos extremos
, aplicar uma aproximação gaussiana para obter uma expressão simples para
em função de
.
(a) Para a faixa de energia entre
(b) Escrever uma expressão para
(c) Para
Passo 2
Relacionar a energia com
e identificar a contagem de microestados por valor de
.
- Primeiro, escrevemos
. Então
- Isolando
em função de obtemos
Isso significa que para cada valor inteiro admissível de
há um nível de energia discreto. Quando
varia de
para
, a energia muda em
Portanto os níveis de energia estão espaçados por
.
- O número de microestados com exatamente
spins paralelos é a combinação binomial
- Para contar todos os estados cuja energia cai na faixa
precisamos somar sobre todos os cujos níveis de energia caem nessa faixa. Seja o número de valores inteiros de contidos na faixa; então aproximadamente
(porque cada passo em
muda a energia em
).
Logo, o número exato (discreto) de estados na faixa é
onde
é o valor dado por
e
.
- Se
é pequeno a ponto de a binomial não variar muito ao longo dos termos (situação pedida no enunciado: microscopicamente grande, mas pequeno macroscópicamente), podemos aproximar todos os termos pelo valor central e obter a aproximação útil
Esta é a expressão prática para (a): multiplicidade por nível vezes o número de níveis na faixa de energia.
Passo 3
Escrever
e usar a fórmula de Stirling (forma mais simples) para simplificar.
- Começamos a partir da aproximação do passo anterior:
então
- Agora usar a fórmula de Stirling na sua forma mais simples: para
,
Aplicando isso em
, obtemos (os termos lineares em
se cancelam):
- Portanto
com
. Essa é a forma desejada em função de
(pode-se substituir
explicitamente quando quiser).
- Para escrever de modo compacto, é útil introduzir a fração
. Então
com
Passo 4
Aplicação da aproximação Gaussiana (parte (c)): derivação detalhada e resultado final.
- A distribuição de
para um sistema de spins não correlacionados é binomial. Para (cada spin tem igual probabilidade de apontar para cima ou para baixo quando contamos microestados com igual peso), essa binomial tem média e variância . Pelo teorema do limite central, para grande a probabilidade relativa de é aproximada por uma gaussiana:
- Mas
. Portanto
- Agora substituímos
em função de . Do Passo 2 temos
Substituindo na exponencial:
- Colocando tudo junto e lembrando o fator de número de níveis
da aproximação para , obtemos
- Portanto a forma final na aproximação gaussiana (válida quando
não está próxima de ) é
Essa expressão mostra que a distribuição de estados em energia é essencialmente gaussiana em
, com largura característica
(pois o expoente tem a forma
).
Passo 5
Observações finais e validade das aproximações (rápido e prático, para a prova):
- A fórmula exata discreta é a soma de binomiais do Passo 2; a aproximação
é muito útil quando contém muitos níveis (ou seja ) mas ainda é pequeno em escala macroscópica. - A aplicação de Stirling usada no Passo 3 é válida para
e grandes. - A aproximação gaussiana do Passo 4 exige
distante dos extremos (isto é, não muito próximo de ou ); então a expansão quadrática de em torno de é válida. - Em uma prova, memorize: multiplicidade = binomial; relação entre
e ; Stirling para ; e que o binomial tende a uma gaussiana com , o que leva à forma gaussiana em .
Resposta
(a)
, com
.\newline
Aproximação útil: \newline
(b) , com
\newline
(c)
Aproximação útil:
(b)
(c)