Considere um sistema isolado constituído por um grande número N de partículas de spin-1/2 que interagem muito fracamente entre si. Cada partícula possui um momento magnético \mu que pode apontar tanto paralelamente quanto antiparalelamente a um campo aplicado H. A energia E do sistema é então E=-\left(n_{1}-n_{2}\right) \mu H, onde n_{1} é o número de spins alinhados paralelamente a H e n_{2} é o número de spins alinhados antiparalelos a H. (a) Considere a faixa de energia entre E e E+\delta E, em que \delta E é muito pequeno em comparação com E, mas microscopicamente grande o suficiente, de modo que seja \delta E \gg \mu H. Qual é o número total de estados \Omega(E) situados nesta faixa de energia? (b) Escreva uma expressão para \ln \Omega(E) como uma função de E. Simplifique esta expressão aplicando a fórmula de Stirling em sua forma mais simples. (c) Suponha que a energia E está em uma região onde \Omega(E) é considerável, isto é, que não está perto dos valores extremos \pm N \mu H. Neste caso, aplique uma aproximação Gaussiana à expressão obtida na parte (a) para obter uma expressão simples para \Omega(E) como uma função de E.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede três coisas:
  • Temos N partículas (grande N), cada uma com spin-1/2.
  • Cada partícula tem momento magnético \mu que pode apontar paralelamente ou antiparalelamente a um campo externo H.
  • Se n_{1} é o número de spins paralelos a H e n_{2} o número antiparalelo, então a energia do sistema é
E = -\left(n_{1}-n_{2}\right)\mu H .
  • Além disso n_{1}+n_{2}=N.
As perguntas do enunciado são:
(a) Para a faixa de energia entre E e E+\delta E (com \delta E microscopicamente grande, \delta E\gg\mu H, mas pequena comparada a E), qual é o número total de estados \Omega(E) nessa faixa?
(b) Escrever uma expressão para \ln\Omega(E) em função de E e simplificá‑la usando a fórmula de Stirling (forma mais simples).
(c) Para E não muito próximo dos extremos \pm N\mu H, aplicar uma aproximação gaussiana para obter uma expressão simples para \Omega(E) em função de E.

Passo 2

Relacionar a energia com n_{1} e identificar a contagem de microestados por valor de n_{1}.
  • Primeiro, escrevemos n_{2}=N-n_{1}. Então
E = -\big(n_{1}-(N-n_{1})\big)\mu H = -\big(2n_{1}-N\big)\mu H.
  • Isolando n_{1} em função de E obtemos
n_{1} = \frac{N}{2} - \frac{E}{2\mu H}.
Isso significa que para cada valor inteiro admissível de n_{1} há um nível de energia discreto. Quando n_{1} varia de n_{1} para n_{1}+1, a energia muda em
\Delta E = E(n_{1}+1)-E(n_{1}) = -2\mu H.
Portanto os níveis de energia estão espaçados por 2\mu H.
  • O número de microestados com exatamente n_{1} spins paralelos é a combinação binomial
\binom{N}{n_{1}}.
  • Para contar todos os estados cuja energia cai na faixa [E,E+\delta E) precisamos somar \binom{N}{n_{1}} sobre todos os n_{1} cujos níveis de energia caem nessa faixa. Seja m o número de valores inteiros de n_{1} contidos na faixa; então aproximadamente
m \approx \frac{\delta E}{2\mu H}
(porque cada passo em n_{1} muda a energia em 2\mu H).
Logo, o número exato (discreto) de estados na faixa é
\Omega(E)=\sum_{k=0}^{m-1}\binom{N}{n_{1}+k},
onde n_{1} é o valor dado por \displaystyle n_{1}=\frac{N}{2}-\frac{E}{2\mu H} e m=\left\lfloor\frac{\delta E}{2\mu H}\right\rfloor.
  • Se \delta E é pequeno a ponto de a binomial não variar muito ao longo dos m termos (situação pedida no enunciado: \delta E microscopicamente grande, mas pequeno macroscópicamente), podemos aproximar todos os termos pelo valor central e obter a aproximação útil
\boxed{\Omega(E)\approx \binom{N}{n_{1}}\;\frac{\delta E}{2\mu H}.}
Esta é a expressão prática para (a): multiplicidade por nível vezes o número de níveis na faixa de energia.

Passo 3

Escrever \ln\Omega(E) e usar a fórmula de Stirling (forma mais simples) para simplificar.
  • Começamos a partir da aproximação do passo anterior:
\Omega(E)\approx \binom{N}{n_{1}}\;\frac{\delta E}{2\mu H},
então
\ln\Omega(E)\approx \ln\binom{N}{n_{1}} + \ln\!\left(\frac{\delta E}{2\mu H}\right).
  • Agora usar a fórmula de Stirling na sua forma mais simples: para k\gg1,
\ln k! \approx k\ln k - k.
Aplicando isso em \ln\binom{N}{n_{1}}=\ln N!-\ln n_{1}!-\ln(N-n_{1})!, obtemos (os termos lineares em k se cancelam):
\begin{aligned} \ln\binom{N}{n_{1}} &\approx N\ln N - n_{1}\ln n_{1} - (N-n_{1})\ln(N-n_{1}). \end{aligned}
  • Portanto
\boxed{\displaystyle \ln\Omega(E)\approx N\ln N - n_{1}\ln n_{1} - (N-n_{1})\ln(N-n_{1}) + \ln\!\left(\frac{\delta E}{2\mu H}\right),}
com n_{1}=\dfrac{N}{2}-\dfrac{E}{2\mu H}. Essa é a forma desejada em função de E (pode-se substituir n_{1} explicitamente quando quiser).
  • Para escrever de modo compacto, é útil introduzir a fração x\equiv n_{1}/N. Então
\ln\Omega(E)\approx -N\big[x\ln x +(1-x)\ln(1-x)\big] + \ln\!\left(\frac{\delta E}{2\mu H}\right),
com
x=\frac{1}{2}-\frac{E}{2N\mu H}.

Passo 4

Aplicação da aproximação Gaussiana (parte (c)): derivação detalhada e resultado final.
  • A distribuição de n_{1} para um sistema de spins não correlacionados é binomial. Para p=1/2 (cada spin tem igual probabilidade de apontar para cima ou para baixo quando contamos microestados com igual peso), essa binomial tem média \langle n_{1}\rangle = N/2 e variância \sigma^{2}=N/4. Pelo teorema do limite central, para N grande a probabilidade relativa de n_{1} é aproximada por uma gaussiana:
\Pr(n_{1}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{(n_{1}-N/2)^{2}}{2\sigma^{2}}\right) =\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\exp\!\left(-\frac{2(n_{1}-N/2)^{2}}{N}\right).
  • Mas \Pr(n_{1})=\dfrac{\binom{N}{n_{1}}}{2^{N}}. Portanto
\binom{N}{n_{1}}\approx 2^{N}\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\exp\!\left(-\frac{2(n_{1}-N/2)^{2}}{N}\right).
  • Agora substituímos n_{1}-N/2 em função de E. Do Passo 2 temos
n_{1}-\frac{N}{2}=-\frac{E}{2\mu H}.
Substituindo na exponencial:
\frac{2(n_{1}-N/2)^{2}}{N}=\frac{2}{N}\left(\frac{E}{2\mu H}\right)^{2}=\frac{E^{2}}{2N\mu^{2}H^{2}}.
  • Colocando tudo junto e lembrando o fator de número de níveis \delta E/(2\mu H) da aproximação para \Omega(E), obtemos
\begin{aligned} \Omega(E) &\approx \binom{N}{n_{1}}\frac{\delta E}{2\mu H} \approx 2^{N}\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\exp\!\left(-\frac{E^{2}}{2N\mu^{2}H^{2}}\right)\frac{\delta E}{2\mu H}. \end{aligned}
  • Portanto a forma final na aproximação gaussiana (válida quando E não está próxima de \pm N\mu H) é
\boxed{\displaystyle \Omega(E)\approx 2^{N}\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\;\frac{\delta E}{2\mu H}\;\exp\!\left(-\frac{E^{2}}{2N\mu^{2}H^{2}}\right).}
Essa expressão mostra que a distribuição de estados em energia é essencialmente gaussiana em E, com largura característica \sigma_{E}=\mu H\sqrt{N} (pois o expoente tem a forma \exp(-E^{2}/(2\sigma_{E}^{2}))).

Passo 5

Observações finais e validade das aproximações (rápido e prático, para a prova):
  • A fórmula exata discreta é a soma de binomiais do Passo 2; a aproximação \Omega(E)\approx \binom{N}{n_{1}}\dfrac{\delta E}{2\mu H} é muito útil quando \delta E contém muitos níveis (ou seja \delta E\gg 2\mu H) mas ainda é pequeno em escala macroscópica.
  • A aplicação de Stirling usada no Passo 3 é válida para n_{1} e N-n_{1} grandes.
  • A aproximação gaussiana do Passo 4 exige E distante dos extremos \pm N\mu H (isto é, n_{1} não muito próximo de 0 ou N); então a expansão quadrática de \ln\binom{N}{n} em torno de n=N/2 é válida.
  • Em uma prova, memorize: multiplicidade = binomial; relação entre n_{1} e E; Stirling para \ln\binom{N}{n}; e que o binomial tende a uma gaussiana com \sigma^{2}=N/4, o que leva à forma gaussiana em E.

Resposta

(a) \displaystyle \Omega(E)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{\delta E}{2\mu H}\right\rfloor}\binom{N}{\,n_{1}+k\,}, com \displaystyle n_{1}=\frac{N}{2}-\frac{E}{2\mu H}.\newline
Aproximação útil: \displaystyle \Omega(E)\approx \binom{N}{n_{1}}\;\frac{\delta E}{2\mu H}.\newline
(b) \displaystyle \ln\Omega(E)\approx N\ln N - n_{1}\ln n_{1} - (N-n_{1})\ln(N-n_{1}) + \ln\!\left(\frac{\delta E}{2\mu H}\right), com \displaystyle n_{1}=\frac{N}{2}-\frac{E}{2\mu H}.\newline
(c) \displaystyle \Omega(E)\approx 2^{N}\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\;\frac{\delta E}{2\mu H}\;\exp\!\left(-\frac{E^{2}}{2N\mu^{2}H^{2}}\right).

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