|Exercício \mathbf{1 0} \boldsymbol{>} Neste exercício consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, respondendo aos itens dados a seguir.
\mid \mathbf{1 0 - a}> Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma da Equação 4, onde C é uma constante, e a=h c / k T, onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no espaço vazio, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em kelvins.
u=C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a / \lambda}-1\right)^{-1}
\mid \mathbf{1 0 - b}> Mostre que o valor de \lambda para o qual a derivada \mathrm{d} u / \mathrm{d} \lambda se anula satisfaz a Equação 5 e explicite o que significa fisicamente, no contexto em pauta, este valor de \lambda.
5 \lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a / \lambda}\right)=a .
\mid \mathbf{1 0 - c}> A Equação 5 pode ser resolvida pelo método das tentativas, usando uma calculadora. Experimente calcular \boldsymbol{a} / \lambda=\alpha para vários valores de \alpha até obter o valor correto de \boldsymbol{a} / \lambda com quatro algarismos significativos.
\mid \mathbf{1 0}-\mathbf{d}> Concatene os resultados dos itens |\mathbf{1 0}-\mathbf{a}>\mathrm{a}| \mathbf{1 0}-\mathbf{c}> e demonstre a lei de deslocamento de Wien.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • O enunciado dá a função distribuição da densidade de energia por comprimento de onda na forma
u = C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1},
onde C é uma constante e a = \dfrac{h c}{k T}. As constantes físicas citadas são: a constante de Planck h, a velocidade da luz c, a constante de Boltzmann k e a temperatura T.
  • Itens pedidos:
    (a) Mostrar que a densidade de energia pode ser escrita nessa forma e identificar C e a.
    (b) Mostrar que a condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 leva à equação 5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a,e explicar o significado físico do \lambda que satisfaz essa equação.
    (c) Resolver numericamente a equação acima em termos de \alpha=\dfrac{a}{\lambda} até quatro algarismos significativos.
    (d) Usar os resultados (a) e (c) para deduzir a lei de deslocamento de Wien (isto é, obter \lambda_{\max}T= constante).

Passo 2

Derivar a expressão em (a) a partir da forma mais conhecida da lei de Planck em frequência e explicar cada passo.
  • Primeiro, a forma em frequência (energia por unidade de volume por intervalo de frequência \nu) da lei de Planck é
u(\nu)=\frac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3}}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/(kT)}-1}.
Explicação dos fatores:
  • \dfrac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}} é a densidade de modos eletromagnéticos (número de modos por unidade de volume por unidade de frequência) em uma cavidade (contando polarizações).
  • \dfrac{h\nu}{\mathrm{e}^{h\nu/(kT)}-1} é a energia média por modo (os modos são os osciladores quânticos) obtida da estatística de Bose–Einstein para fótons sem fator quântico de ocupação diferente (é a fórmula para a energia média de um oscilador harmônico quântico).
  • O produto dá a densidade de energia espectral por frequência.
  • Para obter a densidade por comprimento de onda u(\lambda) usamos a relação \nu=c/\lambda e a mudança de variável
u(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda = u(\nu)\,\left|\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\lambda}\right| \,\mathrm{d}\lambda.
Aqui \dfrac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\lambda} = -\dfrac{c}{\lambda^{2}} e tomamos o valor absoluto \dfrac{c}{\lambda^{2}}.
  • Substituindo \nu=c/\lambda em u(\nu) e multiplicando por \dfrac{c}{\lambda^{2}}:
u(\lambda)=\frac{8\pi h \left(\dfrac{c}{\lambda}\right)^{3}}{c^{3}}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{h(c/\lambda)/(kT)}-1}\cdot\frac{c}{\lambda^{2}}.
Agora simplificamos os fatores de c e \lambda:
u(\lambda)=8\pi h c\;\lambda^{-5}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/(kT\lambda)}-1}.
  • Identificando os símbolos do enunciado: defina
C=8\pi h c,\qquad a=\frac{h c}{k T}.
Com isso a expressão fica exatamente
u(\lambda)=C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1},
como pedido. Comentário prático: C reúne os fatores universais vindos da contagem de modos e da energia por fóton; a reúne as constantes físicas e a dependência em T.

Passo 3

Derivar a condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 e obter a Equação 5.
  • Para evitar derivar um quociente complicado diretamente em \lambda, faça a mudança de variável
x=\frac{a}{\lambda}.
Observação: x cresce quando \lambda diminui; extremos em \lambda correspondem a extremos em x (o sinal da derivada muda mas o ponto crítico é o mesmo). Reescrevendo u em função de x:
\lambda=\frac{a}{x}\quad\Rightarrow\quad u(\lambda)=\frac{C}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{a/\lambda}-1} = \frac{C}{(a/x)^{5}}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1} = \frac{C}{a^{5}}\cdot\frac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}-1}.
Defina g(x)=\dfrac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}-1}. Os extremos de u ocorrem quando g'(x)=0.
  • Calcule g'(x) usando a regra do quociente:
g'(x)=\frac{5x^{4}(\mathrm{e}^{x}-1)-x^{5}\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x}-1)^{2}}.
Impondo g'(x)=0 basta anular o numerador (o denominador nunca é zero para x>0):
5x^{4}(\mathrm{e}^{x}-1)-x^{5}\mathrm{e}^{x}=0.
Dividindo por x^{4} (positivo para x>0):
5(\mathrm{e}^{x}-1)-x\mathrm{e}^{x}=0.
Rearranjando:
5\mathrm{e}^{x}-5-x\mathrm{e}^{x}=0\quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{x}(5-x)=5.
Divida por \mathrm{e}^{x} para obter:
5\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)=x.
Voltando à variável original x=a/\lambda resulta exatamente:
5\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=\frac{a}{\lambda}.
Multiplicando por \lambda obtém-se a Equação 5 fornecida no enunciado:
5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a.
  • Significado físico desse \lambda: é o comprimento de onda para o qual a densidade de energia espectral u(\lambda) atinge o máximo (ou seja, é o pico do espectro de emissão por unidade de comprimento de onda para a temperatura T). Na prática, \lambda que satisfaz Eq. 5 é o \lambda_{\max} da emissão térmica do corpo negro à temperatura T.

Passo 4

Resolver numericamente a equação para \alpha=\dfrac{a}{\lambda}; mostrar método e obter quatro algarismos significativos.
  • A equação em x=\alpha é
5\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)=x.
Defina a função
f(x)=5\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)-x.
Procuramos a raiz positiva de f(x)=0. Uma maneira rápida e robusta é o método de Newton, com
f'(x)=5\mathrm{e}^{-x}-1.
Escolha uma estimativa inicial razoável; observando que f(4)=4{,}9084 e f(5)=-0{,}0337, a raiz está entre 4 e 5. Tome x_{0}=4{,}965.
  • Iterações de Newton (mostrando a ideia; dois passos dão precisão suficiente):
    1. Calcule f(x_{0}) e f'(x_{0}). Por exemplo, com x_{0}=4{,}965 obtém-se valores próximos de
    f(x_{0})\approx 0{,}00013,\qquad f'(x_{0})\approx -0{,}96513.Então x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx 4{,}965136.
    1. Uma iteração adicional dá mudança muito pequena e converge para
    x\approx 4{,}965114\ldots
  • Arredondando para quatro algarismos significativos obtemos
\alpha=\frac{a}{\lambda}=x\approx 4{,}965.

Passo 5

Concatenar os resultados e obter a lei de deslocamento de Wien (item d).
  • Da definição x=\dfrac{a}{\lambda} com a=\dfrac{h c}{k T} e x=\alpha conhecido, isolamos \lambda (o comprimento de onda de pico):
\lambda_{\max}=\frac{a}{\alpha}=\frac{h c}{k T}\cdot\frac{1}{\alpha}.
Multiplicando ambos os lados por T obtemos a forma usual da lei de deslocamento de Wien:
\lambda_{\max}T=\frac{h c}{k\alpha}.
  • Agora substituímos valores numéricos para escrever a constante numérica. O fator h c/k vale numericamente aproximadamente
\frac{h c}{k}\approx 0{,}01438776877\\ \mathrm{m\cdot K}.
Dividindo por \alpha\approx 4{,}965
\lambda_{\max}T=\frac{h c}{k\alpha}\approx\frac{0{,}01438776877}{4{,}965}\\ \mathrm{m\cdot K}\approx 0{,}00289777\\ \mathrm{m\cdot K}.
Arredondando convenientemente (quatro algarismos significativos na constante):
\lambda_{\max}T \approx 2{,}898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Interpretação final: para um corpo negro à temperatura T, o comprimento de onda no qual a emissão por unidade de comprimento de onda é máxima satisfaz
\lambda_{\max}T\approx 2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K},
este é exatamente o enunciado prático da lei de deslocamento de Wien.

Resposta

(a) u(\lambda)=C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1} com C=8\pi h c e a=\dfrac{h c}{k T}.
(b) A condição \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\lambda}=0 leva a \;5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a\;. Fisicamente, o \lambda que satisfaz esta equação é \lambda_{\max}, o comprimento de onda no qual a densidade de energia espectral por comprimento de onda atinge seu máximo (pico do espectro).
(c) \displaystyle \alpha=\frac{a}{\lambda}\approx 4{,}965 (quatro algarismos significativos).
(d) Lei de Wien: \displaystyle \lambda_{\max}T=\frac{h c}{k\alpha}\approx 2{,}898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.

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