|Exercício \mathbf{1 0} \boldsymbol{>} Neste exercício consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, respondendo aos itens dados a seguir. \mid \mathbf{1 0 - a}> Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma da Equação 4, onde C é uma constante, e a=h c / k T, onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no espaço vazio, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em kelvins.
\mid \mathbf{1 0 - b}> Mostre que o valor de \lambda para o qual a derivada \mathrm{d} u / \mathrm{d} \lambda se anula satisfaz a Equação 5 e explicite o que significa fisicamente, no contexto em pauta, este valor de \lambda.
\mid \mathbf{1 0 - c}> A Equação 5 pode ser resolvida pelo método das tentativas, usando uma calculadora. Experimente calcular \boldsymbol{a} / \lambda=\alpha para vários valores de \alpha até obter o valor correto de \boldsymbol{a} / \lambda com quatro algarismos significativos. \mid \mathbf{1 0}-\mathbf{d}> Concatene os resultados dos itens |\mathbf{1 0}-\mathbf{a}>\mathrm{a}| \mathbf{1 0}-\mathbf{c}> e demonstre a lei de deslocamento de Wien.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
O enunciado dá a função distribuição da densidade de energia por comprimento de onda na forma
u = C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1},
onde C é uma constante e a = \dfrac{h c}{k T}. As constantes físicas citadas são: a constante de Planck h, a velocidade da luz c, a constante de Boltzmann k e a temperatura T.
Itens pedidos:
(a) Mostrar que a densidade de energia pode ser escrita nessa forma e identificar C e a.
(b) Mostrar que a condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 leva à equação5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a,e explicar o significado físico do \lambda que satisfaz essa equação.
(c) Resolver numericamente a equação acima em termos de \alpha=\dfrac{a}{\lambda} até quatro algarismos significativos.
(d) Usar os resultados (a) e (c) para deduzir a lei de deslocamento de Wien (isto é, obter \lambda_{\max}T= constante).
Passo 2
Derivar a expressão em (a) a partir da forma mais conhecida da lei de Planck em frequência e explicar cada passo.
Primeiro, a forma em frequência (energia por unidade de volume por intervalo de frequência \nu) da lei de Planck é
u(\nu)=\frac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3}}\cdot\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/(kT)}-1}.
Explicação dos fatores:
\dfrac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}} é a densidade de modos eletromagnéticos (número de modos por unidade de volume por unidade de frequência) em uma cavidade (contando polarizações).
\dfrac{h\nu}{\mathrm{e}^{h\nu/(kT)}-1} é a energia média por modo (os modos são os osciladores quânticos) obtida da estatística de Bose–Einstein para fótons sem fator quântico de ocupação diferente (é a fórmula para a energia média de um oscilador harmônico quântico).
O produto dá a densidade de energia espectral por frequência.
Para obter a densidade por comprimento de onda u(\lambda) usamos a relação \nu=c/\lambda e a mudança de variável
como pedido. Comentário prático: C reúne os fatores universais vindos da contagem de modos e da energia por fóton; a reúne as constantes físicas e a dependência em T.
Passo 3
Derivar a condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 e obter a Equação 5.
Para evitar derivar um quociente complicado diretamente em \lambda, faça a mudança de variável
x=\frac{a}{\lambda}.
Observação: x cresce quando \lambda diminui; extremos em \lambda correspondem a extremos em x (o sinal da derivada muda mas o ponto crítico é o mesmo). Reescrevendo u em função de x:
Multiplicando por \lambda obtém-se a Equação 5 fornecida no enunciado:
5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a.
Significado físico desse \lambda: é o comprimento de onda para o qual a densidade de energia espectral u(\lambda) atinge o máximo (ou seja, é o pico do espectro de emissão por unidade de comprimento de onda para a temperatura T). Na prática, \lambda que satisfaz Eq. 5 é o \lambda_{\max} da emissão térmica do corpo negro à temperatura T.
Passo 4
Resolver numericamente a equação para \alpha=\dfrac{a}{\lambda}; mostrar método e obter quatro algarismos significativos.
A equação em x=\alpha é
5\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)=x.
Defina a função
f(x)=5\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)-x.
Procuramos a raiz positiva de f(x)=0. Uma maneira rápida e robusta é o método de Newton, com
f'(x)=5\mathrm{e}^{-x}-1.
Escolha uma estimativa inicial razoável; observando que f(4)=4{,}9084 e f(5)=-0{,}0337, a raiz está entre 4 e 5. Tome x_{0}=4{,}965.
Iterações de Newton (mostrando a ideia; dois passos dão precisão suficiente):
Calcule f(x_{0}) e f'(x_{0}). Por exemplo, com x_{0}=4{,}965 obtém-se valores próximos de
este é exatamente o enunciado prático da lei de deslocamento de Wien.
Resposta
(a) u(\lambda)=C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1} com C=8\pi h c e a=\dfrac{h c}{k T}.
(b) A condição \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\lambda}=0 leva a \;5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a\;. Fisicamente, o \lambda que satisfaz esta equação é \lambda_{\max}, o comprimento de onda no qual a densidade de energia espectral por comprimento de onda atinge seu máximo (pico do espectro).