Um ambiente com 4.000 \mathrm{ft}^{2} deve ser mantido a 70^{\circ} \mathrm{F}, com umidade relativa de 50 \% e 14,7 \mathrm{psia}. A ventilação mecânica é fornecida por um sistema central, enquanto o aquecimento e a umidificação são realizados localmente na zona. O ar para ventilação é fornecido a 40^{\circ} \mathrm{F} com umidade relativa de 30 \% em uma vazão de 50 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min}. Há uma perda de calor do espaço através das paredes de 5.000 \mathrm{Btu} / \mathrm{h}. Um umidificador adiciona umidade sob a forma de vapor saturado a 212^{\circ} \mathrm{F}. Considerando que o ar ambiente é totalmente misturado, calcule o que se segue:
a) A quantidade necessária de umidade a adicionar;
b) A quantidade de calor exigida;
c) A massa de vapor de água no interior do ambiente;
d) A temperatura das superfícies no interior do ambiente no qual a umidade condensaria;
e) Uma representação gráfica do processo em coordenadas psicrométricas;
f) Descreva os processos e apresenta suas observações.

Passo 1

O enunciado pede que, para um ambiente de 4{.}000\\ \mathrm{ft}^2 mantido em 70^\circ\mathrm{F}, 50\% de umidade relativa e 14{,}7\\ \mathrm{psia}, ventilado com ar de 40^\circ\mathrm{F}, 30\% UR a 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min} e com perda de calor de 5.000\\ \mathrm{Btu/h}, se calcule:
a) a quantidade de umidade a adicionar;
b) a quantidade de calor exigida;
c) a massa de vapor de água no interior do ambiente;
d) a temperatura das superfícies nas quais a umidade condensaria (ponto de orvalho);
e) uma representação no diagrama psicrométrico;
f) descrição dos processos e observações.
Informações relevantes dadas:
  • Área do ambiente: \,4{.}000\\ \mathrm{ft}^2.
  • Condições internas desejadas: \,T_{i}=70^\circ\mathrm{F}, \phi_{i}=50\%.
  • Pressão total: \,P=14{,}7\\ \mathrm{psia}.
  • Condições do ar de ventilação (fornecido): \,T_{s}=40^\circ\mathrm{F}, \phi_{s}=30\%.
  • Vazão volumétrica de ventilação: \,Q=50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min}.
  • Perda de calor por paredes: \,Q_{\text{paredes}}=5.000\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Umidificador fornece vapor saturado a 212^\circ\mathrm{F}.
Observação prática necessária (não foi fornecido no enunciado): a altura do pé-direito (volume do ambiente) é necessária para calcular a massa total de vapor no ar (item c). Vou assumir, para poder calcular numericamente, um pé-direito típico de 8\\ \mathrm{ft}. Se desejar outro valor, posso recalcular sem problemas. Com essa suposição o volume é \,V=4.000\cdot8=32.000\\ \mathrm{ft}^3.

Passo 2

Vou calcular as pressões de saturação do vapor d’água nos pontos relevantes usando a equação de Antoine (valores padrão para água), para então obter pressões parciais e razões de mistura. Isto é uma técnica padrão em psicrometria: primeiro se encontra p_{vs}(T) (pressão de vapor saturado a uma temperatura), depois p_v=\varphi\cdot p_{vs} e finalmente a razão de mistura (humidity ratio) w pela fórmula
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{P-p_v},
onde P e p_v estão em mesmas unidades (psia aqui).
Cálculos (valores arredondados com 4 casas significativas onde útil):
  • Pressão de saturação a 70^\circ\mathrm{F} (usar Antoine):
    p_{vs}(70^\circ\mathrm{F}) \approx 0{,}3644\\ \mathrm{psia}.
  • Pressão de saturação a 40^\circ\mathrm{F}:
    p_{vs}(40^\circ\mathrm{F}) \approx 0{,}1205\\ \mathrm{psia}.
  • Para o ar fornecido (supply) com \phi_s=30\%:
    p_{v,s} = 0{,}30\cdot p_{vs}(40^\circ\mathrm{F}) \approx 0{,}03615\\ \mathrm{psia}.
  • Para o ar interno desejado com \phi_i=50\%:
    p_{v,i} = 0{,}50\cdot p_{vs}(70^\circ\mathrm{F}) \approx 0{,}1822\\ \mathrm{psia}.
Agora calculo as razões de mistura w_s e w_i:
  • w_s = 0{,}622\;\dfrac{0{,}03615}{14{,}7-0{,}03615} \approx 0{,}001533\\ \mathrm{lb_{vapor}/lb_{ar\\ seco}}.
  • w_i = 0{,}622\;\dfrac{0{,}1822}{14{,}7-0{,}1822} \approx 0{,}007803\\ \mathrm{lb_{vapor}/lb_{ar\\ seco}}.
Esses w são essenciais para balanço de massa de umidade e para o balanço de energia via entalpias do ar úmido.

Passo 3

Converter a vazão volumétrica em vazão mássica de ar seco (necessária para balanço de massa e energia).
Usarei a equação dos gases ideais para densidade do ar seco:
\rho = \frac{P}{R_{\text{ar}}\;T_R},
onde P em \mathrm{lbf/ft^2}=14{,}7\cdot144, R_{\text{ar}}=53{,}35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lbm\cdot^\circ R)} e T_R é temperatura absoluta em ^\circ\mathrm{R} = {}^\circ\mathrm{F}+459{,}67.
  • Para o ar de suprimento a 40^\circ\mathrm{F}: T_{s,R}=40+459{,}67=499{,}67^\circ\mathrm{R}.
    \rho_s \approx \frac{14{,}7\cdot144}{53{,}35\cdot499{,}67}\approx 0{,}07942\\ \mathrm{lbm/ft^3}.
  • Vazão volumétrica Q=50\\ \mathrm{ft^3/min} -> vazão mássica de ar seco:
    \dot m_{da} = \rho_s\;Q \approx 0{,}07942\cdot50 = 3{,}971\\ \mathrm{lbm/min} \approx 238{,}3\\ \mathrm{lbm/h}.
Agora fluxo de vapor que entra com o ar de ventilação:
\dot m_{v,in} = \dot m_{da}\;w_s \approx 238{,}3\cdot0{,}001533 \approx 0{,}365\\ \mathrm{lb/h}.

Passo 4

Balanço de massa de vapor em regime permanente (ar totalmente misturado, vazão de exaustão igual vazão de ventilação): a vazão de vapor que deve sair com o ar interior é \dot m_{da}\,w_i. Então a taxa de umidade a ser adicionada pelo umidificador é:
\dot m_{\text{add}} = \dot m_{da}\,(w_i - w_s).
Substituindo:
\dot m_{\text{add}} \approx 238{,}3\cdot(0{,}007803-0{,}001533) \approx 1{,}494\\ \mathrm{lb/h}.
Convertendo para unidades práticas: \,1{,}494\\ \mathrm{lb/h}\approx 0{,}179\\ \mathrm{gal/h} (água líquida), ou \,0{,}0249\\ \mathrm{lb/min}.
Explicação didática curta: isto significa que, para cada hora, o sistema deve evaporar aproximadamente 1{,}494 libras de água para compensar a saída de ar seco mais seco e manter 50\% UR dentro.

Passo 5

Para avaliar o calor necessário usamos a entalpia do ar úmido por unidade de massa de ar seco. Uma fórmula prática em unidades inglesas é
h = 0{,}24\;T_{db} + w\;(1061 + 0{,}444\;T_{db})\quad\text{(Btu/lb ar seco)},
onde T_{db} é temperatura em ^\circ\mathrm{F} e w é a razão de mistura em \mathrm{lb_{vapor}/lb_{ar\\ seco}}. A primeira parcela é a energia sensível do ar seco; a segunda parcela é a entalpia associada ao vapor (parte latente mais calor específico do vapor).
Calculo das entalpias:
  • Entalpia do ar de suprimento:
    h_s = 0{,}24\cdot40 + 0{,}001533\cdot(1061 + 0{,}444\cdot40)\approx 11{,}252\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
  • Entalpia do ar interior (condição alvo):
    h_i = 0{,}24\cdot70 + 0{,}007803\cdot(1061 + 0{,}444\cdot70)\approx 25{,}320\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
Diferença de entalpia por unidade de ar seco:
\Delta h = h_i - h_s \approx 14{,}068\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
Potência térmica necessária para elevar o ar de suprimento até as condições internas (inclui tanto aquecimento sensível quanto a energia associada à umidificação):
Q_{\text{vent}} = \dot m_{da}\;\Delta h \approx 238{,}3\cdot14{,}068 \approx 3{.}353\\ \mathrm{Btu/h}.
Total de calor exigido pelo espaço (somando perdas por paredes):
Q_{\text{total}} = Q_{\text{paredes}} + Q_{\text{vent}} \approx 5{.}000 + 3{.}353 = 8{.}353\\ \mathrm{Btu/h}.
Para entendimento: esse valor 8{.}353\\ \mathrm{Btu/h} é a potência térmica que deve ser entregue ao ambiente (por aquecedor e pelo umidificador combinados) para manter 70^\circ\mathrm{F} e 50\% UR em regime estacionário.
Podemos também decompor Q_{\text{vent}} em partes sensível e “associada à umidade”:
  • Aquecimento sensível do ar seco (só para elevar 40^\circ\mathrm{F} a 70^\circ\mathrm{F}): Q_{\text{sens}} = \dot m_{da}\;c_{p,ar}\;(T_i-T_s) \quad\text{com }c_{p,ar}\approx 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot^\circ F)}.
Q_{\text{sens}} \approx 238{,}3\cdot0{,}24\cdot30 \approx 1{.}716\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Parte do Q_{\text{vent}} associada à elevação da umidade (entalpia do vapor adicionada ao ar): Q_{\text{lat,air}} = Q_{\text{vent}} - Q_{\text{sens}} \approx 3{.}353 - 1{.}716 = 1{.}637\\ \mathrm{Btu/h}.
Energia requerida pelo gerador de vapor (caldeira/umidificador) para produzir a massa de vapor \dot m_{\text{add}}=1{,}494\\ \mathrm{lb/h}:
  • Energia para aquecer água líquida (supondo água de alimentação a 70^\circ\mathrm{F}) de 70^\circ\mathrm{F} a 212^\circ\mathrm{F}: c_p\cdot\Delta T \approx 1{,}0\cdot(212-70)=142\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Calor latente a 212^\circ\mathrm{F}: cerca de 970{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Logo energia por libra de vapor gerado \approx 142 + 970{,}3 \approx 1{.}112{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
Energia de steam boiler:
Q_{\text{boiler}} = \dot m_{\text{add}}\cdot 1{.}112{,}3 \approx 1{,}494\cdot1{.}112{,}3 \approx 1{.}662\\ \mathrm{Btu/h}.
Observação: Q_{\text{lat,air}} (energia entregue ao ar como vapor) e Q_{\text{boiler}} (energia consumida para gerar vapor) são próximos; a pequena diferença vem da referência de temperatura do líquido de alimentação e das convenções de entalpia usadas. Em termos práticos, o sistema de humidificação consumirá cerca de 1{.}66\times10^{3}\\ \mathrm{Btu/h} de energia térmica para gerar o vapor necessário e esse vapor fornece aproximadamente 1{.}637\times10^{3}\\ \mathrm{Btu/h} ao ar (o restante vai em aquecer a água de alimentação, perdas, etc.).
Resumo numérico desta etapa (para lembrar):
  • Q_{\text{paredes}}=5{.}000\\ \mathrm{Btu/h},
  • Q_{\text{sens}}\approx 1{.}716\\ \mathrm{Btu/h},
  • Q_{\text{lat,air}}\approx 1{.}637\\ \mathrm{Btu/h},
  • Q_{\text{vent}}\approx 3{.}353\\ \mathrm{Btu/h},
  • Q_{\text{total}}\approx 8{.}353\\ \mathrm{Btu/h},
  • Q_{\text{boiler\; (umid.)}}\approx 1{.}662\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 6

Com a suposição do pé-direito h=8\\ \mathrm{ft} temos V=32.000\\ \mathrm{ft}^3. Calculo da massa seca de ar no interior:
  • Densidade do ar seco à 70^\circ\mathrm{F}: T_{i,R}=70+459{,}67=529{,}67^\circ\mathrm{R}.
    \rho_i \approx \frac{14{,}7\cdot144}{53{,}35\cdot529{,}67}\approx 0{,}07492\\ \mathrm{lbm/ft^3}.
  • Massa de ar seco no ambiente:
    m_{da,amb} = \rho_i\;V \approx 0{,}07492\cdot32.000 \approx 2{.}397{,}4\\ \mathrm{lbm}.
  • Massa de vapor no ar interior:
    m_{v,amb} = m_{da,amb}\;w_i \approx 2{.}397{,}4\cdot0{,}007803 \approx 18{,}70\\ \mathrm{lb}.
Em unidades SI: 18{,}70\\ \mathrm{lb}\approx 8{,}48\\ \mathrm{kg}.
Importante: esse resultado usa a suposição do pé-direito de 8\\ \mathrm{ft}. Se o pé-direito for diferente, a massa total escala proporcionalmente ao volume.

Passo 7

O ponto de orvalho (dew point) é a temperatura na qual a pressão de vapor saturado é igual à pressão parcial de vapor no ar interior. Temos p_{v,i}\approx 0{,}1822\\ \mathrm{psia}. Invertendo a relação de saturação (usando Antoine inverso) obtemos a temperatura de orvalho:
  • Convertendo p_{v,i} para mmHg e aplicando Antoine, encontra-se: T_{dp}\approx 10{,}46^\circ\mathrm{C}\approx 50{,}82^\circ\mathrm{F}.
Interpretação: quaisquer superfícies a temperatura igual ou inferior a \approx 50{,}8^\circ\mathrm{F} irão condensar vapor (pois a temperatura da superfície será menor que o ponto de orvalho do ar). Assim superfícies frias abaixo desse valor terão risco de condensação.

Passo 8

Instruções para traçar o processo no diagrama psicrométrico (como desenhar passo a passo, para que possa reproduzir no gráfico):
  1. Plote o ponto do ar de suprimento: T_{db}=40^\circ\mathrm{F}, \varphi=30\%.
  2. Plote o ponto do ar interior: T_{db}=70^\circ\mathrm{F}, \varphi=50\%.
  3. O processo seguido pelo ar de ventilação até o interior é composto por:
    • Aquecimento sensível (horizontal para a direita) do ar de 40^\circ\mathrm{F} até próximo de 70^\circ\mathrm{F} — isso eleva a entalpia sem alterar (muito) w.
    • Umidificação por injeção de vapor saturado: a adição de vapor aumenta w e a entalpia; no gráfico é um movimento para cima e para a direita a partir do estado aquecido, terminando no ponto interior. Como o vapor é a 212^\circ\mathrm{F} e se mistura com o ar, o traçado é aproximadamente uma linha que sobe com ligeira componente para a direita (não é exatamente vertical porque a temperatura final é fixa em 70^\circ\mathrm{F}; dependendo da ordem das operações (umidificar primeiro e depois aquecer, ou aquecer primeiro e depois umidificar) o caminho muda um pouco, mas o ponto inicial e final são os mesmos).
  4. A perda por paredes é um fluxo de energia (seta para fora do estado interior no balanço de energia), não um processo diretamente representado no diagrama, mas influencia a potência necessária para manter o ar no ponto interior.
Se quiser, posso gerar e enviar uma imagem do gráfico psicrométrico com esses pontos e trajetórias (necessitaria então confirmar que posso anexar imagem).

Passo 9

Descrição didática e observações importantes (passo a passo, estilo “amigo que explica”):
  • O caso é um problema clássico de balanço de massa e energia em uma zona bem misturada: o ar de ventilação entra mais frio e mais seco; para manter condições internas precisamos adicionar tanto calor quanto vapor.
  • A massa de vapor adicionada pelo umidificador é pequena em massa ( \approx 1{,}494\\ \mathrm{lb/h}), mas cada libra de vapor transporta muita energia latente, por isso a energia associada à umidificação é significativa (aqui \approx 1{,}637\\ \mathrm{Btu/h} entregue ao ar, e o gerador de vapor consome \approx 1{,}662\\ \mathrm{Btu/h}).
  • A maior parcela do aquecimento a fornecer é a perda por paredes ( 5{.}000\\ \mathrm{Btu/h}). A ventilação contribui com uma carga adicional moderada ( \approx 3{.}353\\ \mathrm{Btu/h}), que inclui aquecimento sensível e energia para umidificação.
  • O ponto de orvalho interno ( \approx 50{,}8^\circ\mathrm{F}) indica risco de condensação em superfícies frias: se houver janelas, dutos ou paredes internas com temperatura abaixo disso, ocorrerá condensação — isso é crítico para evitar mofo/corrosão. Manter superfícies acima do ponto de orvalho ou reduzir UR evita condensação.
  • Estratégias práticas: pré-aquecer o ar de ventilação (antes de entrar na zona) diminui a necessidade de aquecedor local; controlar a ordem (aquecimento primeiro, depois umidificação) pode ser útil para a eficiência do umidificador; recuperar calor de exaustão onde possível reduz carga total.
  • Observação sobre suposições: usei 8\\ \mathrm{ft} de pé-direito para calcular massa total de vapor; se esse valor não for correto, a massa total de vapor escala linearmente com o volume.

Resposta

a) \dot m_{\text{add}} \approx 1{,}494\\ \mathrm{lb/h} (≈ 0{,}179\\ \mathrm{gal/h});
b) Carga térmica total requerida Q_{\text{total}} \approx 8{.}353\\ \mathrm{Btu/h}. Decomposta: Q_{\text{paredes}}=5{.}000\\ \mathrm{Btu/h}, aquecimento sensível do ar de ventilação \approx 1{.}716\\ \mathrm{Btu/h}, energia de umidificação entregue ao ar \approx 1{.}637\\ \mathrm{Btu/h}. Energia requerida pelo gerador de vapor \approx 1{.}662\\ \mathrm{Btu/h}.
c) Massa de vapor no interior (assumindo pé-direito 8\\ \mathrm{ft}): m_{v,amb}\approx 18{,}70\\ \mathrm{lb} (≈ 8{,}48\\ \mathrm{kg}).
d) Temperatura de orvalho interna T_{dp}\approx 50{,}82^\circ\mathrm{F} (≈ 10{,}46^\circ\mathrm{C}).
e) No diagrama psicrométrico: ponto inicial em (40^\circ\mathrm{F},30\%), ponto final em (70^\circ\mathrm{F},50\%). Trajetória: aquecimento sensível (direita) do ar de suprimento e posterior adição de vapor (movimento para cima/direita) até o ponto interior. (Posso desenhar/entregar a imagem se desejar.)
f) Processos/observações: balanço de massa de vapor do tipo \dot m_{da}w determina a taxa de umidificação; a maior parte da carga térmica é perda por paredes; umidificação com vapor fornece energia latente significativa; superfícies abaixo de 50{,}8^\circ\mathrm{F} irão condensar.

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