Determine a transferência de calor através de uma janela com face em um local a 32^{\circ} \mathrm{C} de latitude norte às 10:00 h do dia 21 de agosto. A janela é de vidro de folha dupla com 13 mm de espaço de ar. O vidro e as cortinas interiores apresentam um coeficiente de sombreamento combinado de 0,45 . A temperatura interna de projeto é de 45^{\circ} \mathrm{C} e a externa é de 37^{\circ} \mathrm{C}. As dimensões da janela são de 2 m de comprimento por 1,5 m de altura.

Passo 1

O que o enunciado nos dá (e o que vou assumir, porque não foi informado explicitamente):
  • Latitude do local: \,32^\circ norte.
  • Data e hora: 21 de agosto, às 10{:}00 (hora local).
  • Janela de vidro de folha dupla com espaço de ar de 13\\ \text{mm}.
  • Coeficiente de sombreamento combinado (vidro + cortina): \,0{,}45.
  • Temperatura interna de projeto: \,45^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: \,37^\circ\mathrm{C}.
  • Dimensões da janela: 2{,}0\\ \text{m} de comprimento por 1{,}5\\ \text{m} de altura, logo área \;A=2{,}0\cdot1{,}5=3{,}0\\ \text{m}^2.
  • O que o enunciado pede: determinar a transferência de calor através da janela (ou seja, o fluxo de calor resultante considerando a radiação solar que atravessa a janela e a condução térmica devido à diferença de temperatura interna/externa).
  • Assunções necessárias (explicito para que tudo fique claro):
    • A face da janela é vertical e orientada para o sul (orientação típica em problemas do hemisfério norte; sem orientação não há como calcular a incidência solar).
    • Céu claro (para estimar a irradiância direta).
    • Direta normal irradiance (DNI) ao nível do solo em céu claro será tomada como \,1000\\ \text{W/m}^2 (valor típico usado em exercícios, aproximando as condições diurnas claras).
    • Difusa horizontal aproximada: \,100\\ \text{W/m}^2 (estimativa razoável para céu claro).
    • Albedo do solo (reflexão): \,\rho_g=0{,}2 (superfície típica clara).
    • Valor típico de coeficiente global de transmissão térmica (U) para um caixilho com vidro duplo e folga de ar 13\\ \text{mm}: \,U=2{,}8\\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)}. (O enunciado não fornece espessura/coeficientes dos vidros; este é um valor prático usado em problemas.)
  • Observação: todas as hipóteses acima serão explicitadas durante a resolução; se algum valor for diferente na sua prova (por ex. orientação da janela ou U real), os resultados mudam.

Passo 2

Calcular a declinação solar \delta para 21 de agosto. Fórmula prática aproximada:
\delta = 23{,}45^\circ\sin\!\left(\frac{360^\circ(284+n)}{365}\right),
onde n é o número do dia do ano. Para 21 de agosto temos n=233. Então
\delta\approx 23{,}45^\circ\sin\!\left(\frac{360^\circ\cdot517}{365}\right)\approx 11{,}73^\circ.
(Isto significa que o Sol está \approx 11{,}73^\circ ao norte do plano equatorial.)

Passo 3

Calcular o ângulo horário solar H às 10{:}00. Usa-se a convenção
H = 15^\circ\cdot(\text{hora solar} - 12).
Assumindo hora solar = hora local neste exercício, H=15^\circ(10-12)=-30^\circ (ângulo horário negativo pela manhã).

Passo 4

Calcular a altura solar (ângulo de elevação) \beta. Fórmula:
\sin\beta = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H,
onde \varphi é a latitude ( \varphi=32^\circ). Substituindo:
\sin\beta \approx \sin32^\circ\sin11{,}73^\circ + \cos32^\circ\cos11{,}73^\circ\cos(-30^\circ).
Computando numericamente:
\sin\beta \approx 0{,}529919\cdot0{,}203657 + 0{,}848048\cdot0{,}979037\cdot0{,}866025 \approx 0{,}826762,
logo
\beta \approx \arcsin(0{,}826762) \approx 55{,}96^\circ.
(Interpretação: o Sol está \approx 55{,}96^\circ acima do horizonte.)

Passo 5

Calcular a azimute solar (ângulo azimutal no plano horizontal). Usarei fórmulas que dão seno e cosseno da azimute (com azimute medido a partir do norte, sentido horário):
\cos A = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin\beta}{\cos\varphi\cos\beta}, \qquad \sin A = \frac{\cos\delta\sin H}{\cos\beta}.
Substituindo os valores obtidos:
\cos A \approx -0{,}49309,\qquad \sin A \approx -0{,}87421.
Isto dá
A \approx 240{,}4^\circ\\ \text{(medido a partir do norte, sentido horário)}.á
Interpretação prática: o Sol está a 240{,}4^\circ-180^\circ=60{,}4^\circ a oeste do sul (isto é, a sudoeste). Assim, numa janela voltada para o sul a incidência não é frontal, é bastante oblíqua.

Passo 6

Calcular o ângulo de incidência \theta entre os raios solares e a normal à superfície da janela (janela vertical, orientação sul). Procedimento vetorial simples: para uma superfície vertical cuja normal aponta para o sul, o cosseno do ângulo de incidência pode ser obtido por
\cos\theta = -\cos\beta\cos A',
onde A' é a azimute medida a partir do norte (valor encontrado no passo anterior). Numericamente:
\cos\theta = -0{,}560033\cdot(-0{,}49309)\approx 0{,}27610.
Portanto
\theta \approx \operatorname{arccos}(0{,}27610)\approx 74{,}0^\circ.
(Comentário: ângulo grande \theta significa que o Sol incide muito obliquamente sobre a face sul às 10h nessa data.)

Passo 7

Calcular a componente direta (feixe) da irradiância sobre a janela. Com a assunção de \mathrm{DNI}=1000\\ \text{W/m}^2 temos:
I_{b,\text{plano}} = \mathrm{DNI}\cdot\cos\theta \approx 1000\cdot0{,}27610 \approx 276{,}1\\ \text{W/m}^2.

Passo 8

Calcular a contribuição difusa e refletida (modelo isotrópico simples).
  • Difusa horizontal assumida: I_d=100\\ \text{W/m}^2.
  • Para uma superfície inclinada com inclinação \beta_t=90^\circ (vertical), o fator para difusa isotrópica é (1+\cos\beta_t)/2=(1+0)/2=0{,}5. Logo a difusa na superfície vertical:
I_{d,\text{plano}} = I_d\cdot\frac{1+\cos\beta_t}{2} = 100\cdot0{,}5 = 50{,}0\\ \text{W/m}^2.
  • Componente refletida do solo sobre a superfície vertical:
I_{r} = \rho_g\,(I_{b}\sin\beta + I_d)\cdot\frac{1-\cos\beta_t}{2}.
Aqui I_b\sin\beta é a componente do feixe sobre a horizontal (onde I_b=\mathrm{DNI}). Como \beta_t=90^\circ temos (1-\cos\beta_t)/2=0{,}5. Substituindo \rho_g=0{,}2,
I_{r} \approx 0{,}2\cdot(1000\cdot0{,}826762 + 100)\cdot0{,}5 \approx 92{,}676\\ \text{W/m}^2.
  • Somando as três contribuições (feixe na face, difusa sobre a face, refletida):
I_{\text{incidente}} = I_{b,\text{plano}} + I_{d,\text{plano}} + I_r \approx 276{,}1 + 50{,}0 + 92{,}676 \approx 418{,}48\\ \text{W/m}^2.

Passo 9

Aplicar o coeficiente de sombreamento/transmissão combinado ( SC=0{,}45). Este coeficiente significa: da irradiância que incide na face exterior, apenas uma fração 0{,}45 é transmitida para o interior como ganho solar. Então a irradiância solar transmitida por unidade de área é
I_{\text{trans}} = SC\cdot I_{\text{incidente}} \approx 0{,}45\cdot418{,}48 \approx 188{,}31\\ \text{W/m}^2.
Multiplicando pela área da janela A=3{,}0\\ \text{m}^2, obtemos o fluxo solar transmitido total:
Q_{\text{solar}} = I_{\text{trans}}\cdot A \approx 188{,}31\cdot3{,}0 \approx 564{,}94\\ \text{W}.

Passo 10

Calcular a transferência de calor por condução (fluxo devido à diferença de temperatura entre interior e exterior). Use a fórmula linear:
Q_{\text{cond}} = U\cdot A\cdot (T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}).
Com as assunções: U=2{,}8\\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)}, A=3{,}0\\ \text{m}^2, T_{\text{int}}=45^\circ\mathrm{C}, T_{\text{ext}}=37^\circ\mathrm{C}, tem-se \Delta T=8\\ \text{K}. Logo
Q_{\text{cond}} = 2{,}8\cdot3{,}0\cdot8 = 67{,}20\\ \text{W}.
Sinal e interpretação: este valor é o fluxo de calor do interior para o exterior (porque T_{\text{int}}>T_{\text{ext}}). Vou tomar convenção positiva quando o calor entrar no ambiente interno; portanto essa condução é -67{,}20\\ \text{W} (ou seja, uma perda de 67{,}2\\ \text{W} do interior).

Passo 11

Calcular o fluxo de calor líquido através da janela, contado positivamente para dentro do ambiente:
Q_{\text{líquido}} = Q_{\text{solar}} - Q_{\text{cond}} \approx 564{,}94 - 67{,}20 = 497{,}74\\ \text{W}.í
Arredondando para três algarismos significativos, Q_{\text{líquido}}\approx 498\\ \text{W}í entrando no interior — ou seja, a janela fornece cerca de 498\\ \text{W} líquidos para dentro do ambiente naquele instante (principalmente por radiação solar que atravessa o vidro, parcialmente compensada pela perda condutiva).

Passo 12

Resumo das hipóteses que mais influenciam o resultado (para você ficar seguro na prova):
  • A orientação sul, o valor de \mathrm{DNI}=1000\\ \text{W/m}^2, I_d=100\\ \text{W/m}^2 e o U=2{,}8\\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)} são aproximações. Se no exame a orientação for outra ou for dado um valor de U diferente, substitua na fórmula do passo 10; se der um valor de irradiância direta/difusa, use-o no passo 8/9.
  • O procedimento a seguir na prova é sempre o mesmo: calcular geometria solar (declinação, ângulo horário, altura e azimute), achar o ângulo de incidência e a irradiância na face, aplicar o coeficiente de sombreamento para obter a transmissão solar, calcular a condução por U·A·ΔT e somar (ou subtrair) para obter o fluxo líquido.

Resposta

Q_{\text{líquido}}\approx 497{,}74\\ \text{W}í (positivo para o interior)
Q_{\text{solar (transmitido)}}\approx 564{,}94\\ \text{W}
Q_{\text{condutivo}} \approx 67{,}20\\ \text{W}

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