Um amigo nosso chamado ¿Manoel ¿ possui corpo de 95 kg , e descreve uma trajetória retilínea que obedece à seguinte equação horária: S=5 t^{2}+3 t+1, no S.I… Determine o módulo da força resultante sobre o corpo.
A \square \mathrm{Fr}=50 \mathrm{~N}
B \square \mathrm{Fr}=95 \mathrm{~N}
c \square \mathrm{Fr}=500 \mathrm{~N}
D \square \mathrm{Fr}=950 \mathrm{~N}
E \square \mathrm{Fr}=900 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o módulo da força resultante sobre um corpo. Informações dadas:
  • Massa do corpo: m=95\\ \mathrm{kg}.
  • Equação horária da posição (trajetória retilínea, unidades do S.I.): S(t)=5t^{2}+3t+1.
    A tarefa é usar essas informações para encontrar o módulo da força resultante atuando no corpo.

Passo 2

Primeiro precisamos achar a velocidade em função do tempo, porque força relaciona-se com aceleração. A velocidade é a derivada temporal da posição. Regra básica de derivação que usamos:
  • A derivada de t^{n} em relação a t é n t^{n-1}.
  • A derivada de a t é a.
  • A derivada de uma constante é 0.
Aplicando isso a S(t)=5t^{2}+3t+1, obtemos a velocidade:
v(t)=\frac{dS}{dt}=\frac{d}{dt}\big(5t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(3t\big)+\frac{d}{dt}\big(1\big)=10t+3+0.

Passo 3

Agora encontramos a aceleração sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo. Usamos novamente a regra de derivação:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(10t+3\big)=10.
Isto significa que a aceleração é constante e igual a 10\\ \mathrm{m/s^{2}} para todo t.

Passo 4

Usamos a segunda lei de Newton (forma escalar para módulo da força resultante numa direção retilínea): a força resultante é a massa vezes a aceleração. A fórmula é
F_{\text{res}}=m\cdot a,
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e a é a aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}). O resultado tem unidade de newton ( \mathrm{N}), pois 1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg\cdot m/s^{2}}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos: m=95\\ \mathrm{kg} e a=10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Portanto
F_{\text{res}}=95\cdot 10=950.
A unidade é \mathrm{N}, então o módulo da força resultante é 950\\ \mathrm{N}.

Resposta

\mathrm{Fr}=950\\ \mathrm{N}

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