Uma partícula se move em uma trajetória circular horizontal no plano x-y, com velocidade escalar constante. No instante t_{1}=4 \mathrm{~s}, a partícula possui velocidade \overrightarrow{v_{1}}=(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\jmath} e aceleração no sentido positivo de x. No instante t_{2}=10 s, a partícula possui velocidade \overrightarrow{v_{2}}=(-3 m / s) \hat{\imath} e aceleração no sentido positivo de y. Considere que a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período de rotação.
a) Faça um desenho da trajetória circular no plano x-y, e identifique o sentido de rotação e os pontos 1 e 2 .
b) Qual o período de rotação (tempo para dar uma volta completa)?
c) Encontre o raio do círculo e o módulo da aceleração centrípeta.
d) Quais os vetores velocidade e aceleração no instante t_{3}=15 s ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo:
  • Dados: no instante t_{1}=4\\ \mathrm{s} a partícula tem velocidade \overrightarrow{v_{1}}=(3\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{\jmath} e a aceleração (centrípeta) aponta no sentido positivo de x.
  • Dados: no instante t_{2}=10\\ \mathrm{s} a partícula tem velocidade \overrightarrow{v_{2}}=(-3\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{\imath} e a aceleração (centrípeta) aponta no sentido positivo de y.
  • Informação adicional: a velocidade escalar (módulo de \overrightarrow{v}) é constante e igual a 3\\ \mathrm{m/s}. Também é dito que t_{2}-t_{1}< um período.
Perguntas:
a) Fazer um desenho da trajetória circular no plano x\!-\!y, identificar sentido de rotação e marcar os pontos 1 (em t_{1}) e 2 (em t_{2}).
b) Determinar o período de rotação T.
c) Encontrar o raio R do círculo e o módulo da aceleração centrípeta |\overrightarrow{a}_{c}|.
d) Encontrar \overrightarrow{v} e \overrightarrow{a} no instante t_{3}=15\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Interpretar a direção da aceleração centrípeta e usar isso para localizar a partícula nos pontos 1 e 2.
  • Conceito importante (pequena “aula”): em movimento circular uniforme a aceleração é sempre centrípeta, ou seja, aponta do ponto onde está a partícula em direção ao centro da circunferência. Em forma vetorial:
\overrightarrow{a} = -\frac{v^{2}}{R}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta do centro para a posição da partícula. Assim, se \overrightarrow{a} aponta no sentido positivo de x, então -\frac{v^{2}}{R}\,\hat{r} aponta em +x, o que implica que \hat{r} aponta em -x. Ou seja, a partícula está no ponto mais à esquerda do círculo (posição radial dirigida para -x significa posição (-R,0) se o centro for a origem).
  • Aplicando isso ao instante t_{1}: dado \overrightarrow{v_{1}}=(3\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\jmath} (direção positiva de y) e \overrightarrow{a}_{1} apontando para +x, concluímos que a partícula está no ponto (x,y)=(-R,0) (o ponto mais à esquerda) e sua velocidade ali é vertical para cima. Isso indica um sentido de rotação anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico crescente do ângulo), porque no ponto esquerdo a partícula sobe.
  • Aplicando isso ao instante t_{2}: dado \overrightarrow{v_{2}}=(-3\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\imath} (direção negativa de x) e \overrightarrow{a}_{2} apontando para +y, concluímos que \hat{r} aponta em -y, ou seja a partícula está no ponto (0,-R) (o ponto mais baixo). Em um movimento anti-horário, no ponto mais baixo a velocidade é para a esquerda, o que bate com \overrightarrow{v_{2}}. Portanto tudo é consistente com rotação anti-horária.

Passo 3

Determinar o deslocamento angular entre os pontos 1 e 2 e a velocidade angular.
  • Posicionamentos angulares (medidos a partir do eixo +x no sentido anti-horário): o ponto mais à esquerda tem ângulo \theta_{1}=\pi. O ponto mais baixo tem ângulo \theta_{2}=3\pi/2.
  • O deslocamento angular (no sentido do movimento, que é anti-horário) de t_{1} para t_{2} é
\Delta\theta=\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{3\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}.
  • Tempo decorrido entre t_{1} e t_{2}: \Delta t=t_{2}-t_{1}=10-4=6\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade angular (definição): \omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}. Assim
\omega=\frac{\pi/2}{6}=\frac{\pi}{12}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o período T usando a relação entre \omega e T.
  • Relação básica: \omega=\dfrac{2\pi}{T}. Invertendo,
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega=\dfrac{\pi}{12}:
T=\frac{2\pi}{\pi/12}=2\pi\cdot\frac{12}{\pi}=24\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar o raio R do círculo usando a relação entre velocidade escalar e velocidade angular.
  • Relação importante (pequena “aula”): para movimento circular uniforme a velocidade escalar v está relacionada com \omega e o raio R por
v=\omega R.
Aqui v é o módulo da velocidade (dado v=3\\ \mathrm{m/s}). Assim
R=\frac{v}{\omega}=\frac{3}{\pi/12}=3\cdot\frac{12}{\pi}=\frac{36}{\pi}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o módulo da aceleração centrípeta |\overrightarrow{a}_{c}|.
  • Fórmulas equivalentes para aceleração centrípeta:
|\overrightarrow{a}_{c}|=\frac{v^{2}}{R}=\omega^{2}R.
  • Usando v^{2}/R com v=3\\ \mathrm{m/s} e R=\dfrac{36}{\pi}:
|\overrightarrow{a}_{c}|=\frac{3^{2}}{36/\pi}=\frac{9}{36}\pi=\frac{\pi}{4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Conferência com a outra fórmula: \omega^{2}R=(\pi/12)^{2}\cdot(36/\pi)=\pi/4, mesma coisa.)

Passo 7

Encontrar \overrightarrow{v}(t_{3}) e \overrightarrow{a}(t_{3}) para t_{3}=15\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro encontramos o ângulo \theta_{1} em t_{1} e então \theta_{3}. Já sabemos \theta_{1}=\pi. A variação angular entre t_{1} e t_{3} é \Delta t_{13}=t_{3}-t_{1}=15-4=11\\ \mathrm{s}. Então
\Delta\theta_{13}=\omega\Delta t_{13}=\frac{\pi}{12}\cdot 11=\frac{11\pi}{12}.
  • Logo o ângulo em t_{3} é
\theta_{3}=\theta_{1}+\Delta\theta_{13}=\pi+\frac{11\pi}{12}=\frac{23\pi}{12}.
Observação: \dfrac{23\pi}{12}=2\pi-\dfrac{\pi}{12}, ou seja é equivalente a -\dfrac{\pi}{12} (ou seja, 15° abaixo do eixo +x no ciclo completo).
  • Fórmulas vetoriais para posição angular \theta, velocidade e aceleração em movimento circular com centro na origem:
\overrightarrow{r}=R(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}),
\overrightarrow{v}=v(-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}),
\overrightarrow{a}=-\frac{v^{2}}{R}(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}).
Aqui usamos v=3\\ \mathrm{m/s}, R=36/\pi e |\overrightarrow{a}_{c}|=\pi/4.
  • Avaliando seno e cosseno de \theta_{3}=\dfrac{23\pi}{12}. Como \dfrac{23\pi}{12}=2\pi-\dfrac{\pi}{12},
\cos\left(\frac{23\pi}{12}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right),\qquad \sin\left(\frac{23\pi}{12}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{12}\right).
E sabemos valores exatos para \pi/12=15^\circ:
\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\qquad \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
  • Agora a velocidade em t_{3}:
\overrightarrow{v_{3}}=3\bigl(-\sin\theta_{3}\,\hat{\imath}+\cos\theta_{3}\,\hat{\jmath}\bigr) =3\bigl(-(-\sin\frac{\pi}{12})\,\hat{\imath}+\cos\frac{\pi}{12}\,\hat{\jmath}\bigr) =3\Bigl(\sin\frac{\pi}{12}\,\hat{\imath}+\cos\frac{\pi}{12}\,\hat{\jmath}\Bigr).
Substituindo as expressões exatas,
\overrightarrow{v_{3}}= 3\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath} +3\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}.
Em forma numérica (aprox. com 4 casas decimais):
\overrightarrow{v_{3}}\approx(0{,}7765\\ \hat{\imath}+2{,}8978\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração em t_{3} (centrípeta) é
\overrightarrow{a_{3}}=-\frac{v^{2}}{R}\bigl(\cos\theta_{3}\,\hat{\imath}+\sin\theta_{3}\,\hat{\jmath}\bigr) =-\frac{\pi}{4}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}\,\hat{\imath}-\sin\frac{\pi}{12}\,\hat{\jmath}\Bigr),
porque \sin\theta_{3}=-\sin(\pi/12). Substituindo cosseno e seno:
\overrightarrow{a_{3}}= -\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath} +\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}.
Em forma numérica:
\overrightarrow{a_{3}}\approx(-0{,}7580\\ \hat{\imath}+0{,}2039\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) Trajetória: círculo centrado na origem com sentido de rotação anti-horário; ponto 1 (em t_{1}) em \bigl(-R,0\bigr)=\bigl(-\tfrac{36}{\pi},0\bigr); ponto 2 (em t_{2}) em \bigl(0,-R\bigr)=\bigl(0,-\tfrac{36}{\pi}\bigr).
b) T=24\\ \mathrm{s}.
c) R=\dfrac{36}{\pi}\\ \mathrm{m} e |\overrightarrow{a}_{c}|=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
d) \displaystyle \overrightarrow{v}(t_{3})=3\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath}+3\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}\approx(0{,}7765\\ \hat{\imath}+2{,}8978\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
\displaystyle \overrightarrow{a}(t_{3})=-\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath}+\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}\approx(-0{,}7580\\ \hat{\imath}+0{,}2039\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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