Uma partícula se move em uma trajetória circular horizontal no plano x-y, com velocidade escalar constante. No instante t_{1}=4 \mathrm{~s}, a partícula possui velocidade \overrightarrow{v_{1}}=(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\jmath} e aceleração no sentido positivo de x. No instante t_{2}=10 s, a partícula possui velocidade \overrightarrow{v_{2}}=(-3 m / s) \hat{\imath} e aceleração no sentido positivo de y. Considere que a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período de rotação.
a) Faça um desenho da trajetória circular no plano x-y, e identifique o sentido de rotação e os pontos 1 e 2 .
b) Qual o período de rotação (tempo para dar uma volta completa)?
c) Encontre o raio do círculo e o módulo da aceleração centrípeta.
d) Quais os vetores velocidade e aceleração no instante t_{3}=15 s ?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo:
Dados: no instante t_{1}=4\\ \mathrm{s} a partícula tem velocidade \overrightarrow{v_{1}}=(3\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{\jmath} e a aceleração (centrípeta) aponta no sentido positivo de x.
Dados: no instante t_{2}=10\\ \mathrm{s} a partícula tem velocidade \overrightarrow{v_{2}}=(-3\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{\imath} e a aceleração (centrípeta) aponta no sentido positivo de y.
Informação adicional: a velocidade escalar (módulo de \overrightarrow{v}) é constante e igual a 3\\ \mathrm{m/s}. Também é dito que t_{2}-t_{1}< um período.
Perguntas:
a) Fazer um desenho da trajetória circular no plano x\!-\!y, identificar sentido de rotação e marcar os pontos 1 (em t_{1}) e 2 (em t_{2}).
b) Determinar o período de rotação T.
c) Encontrar o raio R do círculo e o módulo da aceleração centrípeta |\overrightarrow{a}_{c}|.
d) Encontrar \overrightarrow{v} e \overrightarrow{a} no instante t_{3}=15\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Interpretar a direção da aceleração centrípeta e usar isso para localizar a partícula nos pontos 1 e 2.
Conceito importante (pequena “aula”): em movimento circular uniforme a aceleração é sempre centrípeta, ou seja, aponta do ponto onde está a partícula em direção ao centro da circunferência. Em forma vetorial:
\overrightarrow{a} = -\frac{v^{2}}{R}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta do centro para a posição da partícula. Assim, se \overrightarrow{a} aponta no sentido positivo de x, então -\frac{v^{2}}{R}\,\hat{r} aponta em +x, o que implica que \hat{r} aponta em -x. Ou seja, a partícula está no ponto mais à esquerda do círculo (posição radial dirigida para -x significa posição (-R,0) se o centro for a origem).
Aplicando isso ao instante t_{1}: dado \overrightarrow{v_{1}}=(3\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\jmath} (direção positiva de y) e \overrightarrow{a}_{1} apontando para +x, concluímos que a partícula está no ponto (x,y)=(-R,0) (o ponto mais à esquerda) e sua velocidade ali é vertical para cima. Isso indica um sentido de rotação anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico crescente do ângulo), porque no ponto esquerdo a partícula sobe.
Aplicando isso ao instante t_{2}: dado \overrightarrow{v_{2}}=(-3\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\imath} (direção negativa de x) e \overrightarrow{a}_{2} apontando para +y, concluímos que \hat{r} aponta em -y, ou seja a partícula está no ponto (0,-R) (o ponto mais baixo). Em um movimento anti-horário, no ponto mais baixo a velocidade é para a esquerda, o que bate com \overrightarrow{v_{2}}. Portanto tudo é consistente com rotação anti-horária.
Passo 3
Determinar o deslocamento angular entre os pontos 1 e 2 e a velocidade angular.
Posicionamentos angulares (medidos a partir do eixo +x no sentido anti-horário): o ponto mais à esquerda tem ângulo \theta_{1}=\pi. O ponto mais baixo tem ângulo \theta_{2}=3\pi/2.
O deslocamento angular (no sentido do movimento, que é anti-horário) de t_{1} para t_{2} é
(Conferência com a outra fórmula: \omega^{2}R=(\pi/12)^{2}\cdot(36/\pi)=\pi/4, mesma coisa.)
Passo 7
Encontrar \overrightarrow{v}(t_{3}) e \overrightarrow{a}(t_{3}) para t_{3}=15\\ \mathrm{s}.
Primeiro encontramos o ângulo \theta_{1} em t_{1} e então \theta_{3}. Já sabemos \theta_{1}=\pi. A variação angular entre t_{1} e t_{3} é \Delta t_{13}=t_{3}-t_{1}=15-4=11\\ \mathrm{s}. Então
a) Trajetória: círculo centrado na origem com sentido de rotação anti-horário; ponto 1 (em t_{1}) em \bigl(-R,0\bigr)=\bigl(-\tfrac{36}{\pi},0\bigr); ponto 2 (em t_{2}) em \bigl(0,-R\bigr)=\bigl(0,-\tfrac{36}{\pi}\bigr).
b) T=24\\ \mathrm{s}.
c) R=\dfrac{36}{\pi}\\ \mathrm{m} e |\overrightarrow{a}_{c}|=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
d) \displaystyle \overrightarrow{v}(t_{3})=3\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath}+3\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}\approx(0{,}7765\\ \hat{\imath}+2{,}8978\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}. \displaystyle \overrightarrow{a}(t_{3})=-\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\imath}+\frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\hat{\jmath}\approx(-0{,}7580\\ \hat{\imath}+0{,}2039\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s^{2}}.