Um amigo seu decidiu aplicar R \ 2.000 de suas economias em projetos inovadores. Para isso, ele consultou vários artigos na internet e selecionou quatro projetos que achou promissores. Ele está meio desconfiado das informações que obteve sobre o retorno e o risco, então pediu para você reavaliar a situação, impondo que o risco máximo do investimento seja deááçõãêçãá7 %$ ao ano.
Os dados dos projetos são:
Projeto Valor Máx. (R$) Retorno Esperado (ano) Risco (ano)
CAASO Go 700 10,0 \% 10 \%
Treino Saudável Cia. 500 8,5 \% 5 \%
Festa Digital 500 12,5 \% 15 \%
Software App 1.500 10,5 \% 9 \%
Seu amigo ouviu falar que você está cursando Programação Matemática e que essa tal de otimização pode ajudá-lo. Agora ele quer que você faça um modelo matemático que maximize o retorno do capital investido. Como seu amigo deve investir o dinheiro?

Passo 1

O enunciado pede que eu modele e resolva um problema de alocação dos R\$\,2.000 do seu amigo entre quatro projetos, de modo a maximizar o retorno esperado anual, respeitando que o risco máximo do investimento seja de 7\% ao ano. Dados relevantes (peguei os números da tabela do enunciado):
Projeto CAASO Go: valor máximo 700, retorno esperado 10{,}0\% ao ano, risco 10\% ao ano.
Projeto Treino Saudável Cia.: valor máximo 500, retorno esperado 8{,}5\% ao ano, risco 5\% ao ano.
Projeto Festa Digital: valor máximo 500, retorno esperado 12{,}5\% ao ano, risco 15\% ao ano.
Projeto Software App: valor máximo 1.500, retorno esperado 10{,}5\% ao ano, risco 9\% ao ano.
Pergunta do enunciado: Como seu amigo deve investir o dinheiro? (ou seja, quanto investir em cada projeto, respeitando os limites, o capital total disponível e o risco máximo de 7\%).

Passo 2

Defino as variáveis de decisão (claro e simples):
x_1 = \text{valor (R\$) investido no projeto CAASO Go},
x_2 = \text{valor (R\$) investido no projeto Treino Saudável Cia.},á
x_3 = \text{valor (R\$) investido no projeto Festa Digital},
x_4 = \text{valor (R\$) investido no projeto Software App}.
Cada x_i deve satisfazer 0 \le x_i \le limite máximo do projeto (vou escrever os limites explicitamente logo adiante).

Passo 3

Construo a função objetivo: queremos maximizar o retorno esperado anual em reais. Se um projeto tem retorno percentual r_i por ano, o retorno em reais é r_i \cdot x_i. Assim a função objetivo é
\text{Maximize } Z = 0{,}10x_1 + 0{,}085x_2 + 0{,}125x_3 + 0{,}105x_4.
Explicando: por exemplo, investir x_1 reais no projeto 1 rende 10\% de x_1, ou seja 0{,}10x_1 reais por ano de retorno esperado.

Passo 4

Agora o(s) restrição(ões). Temos:
  1. Restrição do capital disponível (não podemos investir mais do que R\$\,2.000):
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \le 2000.
  1. Restrição de limite máximo por projeto (cada uma tirada da tabela):
0 \le x_1 \le 700,\quad 0 \le x_2 \le 500,\quad 0 \le x_3 \le 500,\quad 0 \le x_4 \le 1500.
  1. Restrição de risco: o enunciado impõe que o risco máximo do investimento seja de 7\% ao ano. Como não há informação sobre correlações ou variância, usamos a interpretação mais natural aqui: o risco do portfólio é a média ponderada dos riscos dos projetos, ponderada pelo montante investido em cada um. Assim a restrição é
\frac{0{,}10x_1 + 0{,}05x_2 + 0{,}15x_3 + 0{,}09x_4}{x_1 + x_2 + x_3 + x_4} \le 0{,}07,
isto é, o risco ponderado (em porcentagem) não pode exceder 7\%.

Passo 5

Transformo a desigualdade de risco numa forma linear (isso é só álgebra, nada de complicado). Multiplicando ambos os lados pelo denominador x_1 + x_2 + x_3 + x_4 (note que esse denominador é não-negativo):
0{,}10x_1 + 0{,}05x_2 + 0{,}15x_3 + 0{,}09x_4 \le 0{,}07(x_1 + x_2 + x_3 + x_4).
Subtraindo o lado direito, obtemos uma restrição linear:
(0{,}10-0{,}07)x_1 + (0{,}05-0{,}07)x_2 + (0{,}15-0{,}07)x_3 + (0{,}09-0{,}07)x_4 \le 0,
ou seja
0{,}03x_1 - 0{,}02x_2 + 0{,}08x_3 + 0{,}02x_4 \le 0.
Explicando o que isso significa: cada real colocado em projetos 1,3,4 aumenta a “folga de risco” (coeficientes positivos), enquanto cada real no projeto 2 diminui o risco médio relativo a 7\% (coeficiente negativo). Então o investimento no projeto 2 “compensa” parte do risco dos outros — intuitivamente porque ele é mais seguro (risco 5\%) que o teto permitido.

Passo 6

Resumo do modelo final (tudo linear):
Maximizar
Z = 0{,}10x_1 + 0{,}085x_2 + 0{,}125x_3 + 0{,}105x_4,
sujeito a
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \le 2000,
0{,}03x_1 - 0{,}02x_2 + 0{,}08x_3 + 0{,}02x_4 \le 0,
0 \le x_1 \le 700,\quad 0 \le x_2 \le 500,\quad 0 \le x_3 \le 500,\quad 0 \le x_4 \le 1500.
Esse é um problema de Programação Linear simples (objetivo linear, restrições lineares).

Passo 7

Estratégia de resolução (intuição prática para a prova): com problemas pequenos como este dá para raciocinar com os coeficientes das restrições. Observe o coeficiente de cada x_i na restrição de risco:
\begin{aligned} &x_1: &0{,}03 \quad (\text{positivo})\\\ &x_2: &-0{,}02 \quad (\text{negativo — "ajuda" a reduzir risco médio})\\\ &x_3: &0{,}08 \quad (\text{positivo})\\\ &x_4: &0{,}02 \quad (\text{positivo}) \end{aligned}é
Investir em x_2 gera folga negativa na inequação de risco, ou seja, permite investir mais nos projetos de risco positivo. Portanto, é quase sempre vantajoso saturar (investir o máximo) em x_2, até o limite do projeto, porque ele tem coeficiente negativo e ainda dá retorno positivo (mesmo que o retorno percentual não seja o maior). Vamos testar essa ideia.

Passo 8

Coloco x_2 no máximo: x_2 = 500. Expliquei antes: isso “cria espaço de risco” porque
-0{,}02 \cdot 500 = -10
na equação da restrição de risco. Assim a soma das contribuições dos projetos 1, 3 e 4 deve ser \le 10, isto é:
0{,}03x_1 + 0{,}08x_3 + 0{,}02x_4 \le 10.
Isso é o orçamento de risco positivo que resta para os projetos menos seguros, depois de usar o máximo do projeto 2.

Passo 9

Agora temos um pequeno problema de alocação desse “orçamento de risco” igual a 10 (unidade: resultado da soma dos coeficientes vezes reais). Para decidir entre projetos 1, 3 e 4, uma boa heurística é olhar quanto retorno adicional (em reais por real investido) cada projeto dá por unidade do “custo de risco” que consome. Ou seja, calcular para cada projeto a razão
\frac{\text{retorno por R\$}}{\text{coeficiente de risco}} = \frac{\text{(retorno percentual)}}{\text{(coeficiente na inequação de risco)}}.çã
Calculo essas razões:
Para x_1: \dfrac{0{,}10}{0{,}03}\approx 3{,}333.
Para x_3: \dfrac{0{,}125}{0{,}08}=1{,}5625.
Para x_4: \dfrac{0{,}105}{0{,}02}=5{,}25.
Interpretação: por cada “unidade de risco” (no sentido dessa restrição) que eu gastar, o projeto 4 (Software App) dá mais retorno que os outros. Logo, com o orçamento de risco limitado a 10, devo prioritariamente investir em x_4 até o máximo permitido pelo orçamento ou pelo limite de investimento do projeto.
Cada real em x_4 usa 0{,}02 unidades do orçamento de risco. Então o máximo de x_4 permitido por esse orçamento é
x_4 \le \frac{10}{0{,}02} = 500.
O limite do projeto permite até 1.500, mas o orçamento de risco só permite 500. Então fixamos x_4 = 500.

Passo 10

Com x_2 = 500 e x_4 = 500 a restrição de risco fica
0{,}03x_1 + 0{,}08x_3 + 0{,}02\cdot 500 \le 10
0{,}03x_1 + 0{,}08x_3 + 10 \le 10
0{,}03x_1 + 0{,}08x_3 \le 0.
Como x_1 e x_3 são não-negativos, isso força x_1 = x_3 = 0. Ou seja, não posso investir nos projetos 1 ou 3 sem violar o limite de risco, dado que já estou com x_2 e x_4 nesses valores.
Soma dos investimentos obtida:
x_1+x_2+x_3+x_4 = 0 + 500 + 0 + 500 = 1000 \le 2000,
logo cabe no capital disponível. Restam R\$\,1000 que, dada a restrição de risco, não podem ser aplicados em nenhum dos projetos sem exceder o risco máximo — portanto ficarão não investidos (ou em alternativa poderiam ir para um ativo de risco zero, se disponível).

Passo 11

Calculo do retorno esperado anual com essa solução:
Z = 0{,}10\cdot 0 + 0{,}085\cdot 500 + 0{,}125\cdot 0 + 0{,}105\cdot 500.
Z = 0 + 42{,}5 + 0 + 52{,}5 = 95 \text{ (reais por ano)}.
O risco médio ponderado do portfólio investido (verificação):
\frac{0{,}05\cdot 500 + 0{,}09\cdot 500}{500+500} = \frac{25 + 45}{1000} = \frac{70}{1000} = 0{,}07 = 7\%.
Portanto a solução respeita exatamente o teto de 7\%.
Breve verificação de optimalidade por comparação: tentei heurísticas alternativas (saturar x_3 ou x_1 primeiro) e elas geram menos retorno por unidade do orçamento de risco do que priorizar x_4. Como x_2 é o único projeto com coeficiente negativo na restrição de risco, é benéfico saturá-lo para criar espaço de risco; com x_2 saturado, a melhor utilização do espaço de risco é saturar x_4 até o que o orçamento de risco permite ( 500). Assim chegamos a uma solução de canto do poliedro factível, que é ótima para um LP dessa natureza.

Passo 12

Interpretação final e incentivo: o resultado diz que, dadas as informações (retornos e riscos por projeto, limites e capital disponível), seu amigo deve colocar parte do dinheiro em uma combinação que atinge o teto de risco e maximiza o retorno dado esse teto; parte do capital ficará sem aplicar porque não dá para aplicar mais sem ultrapassar o risco permitido. Isso é comum em problemas de investimento com restrição de risco estrita.

Resposta

CAASO Go ( x_1 ): R$,0
Treino Saudável Cia. ( x_2 ): R$,500
Festa Digital ( x_3 ): R$,0
Software App ( x_4 ): R$,500
Valor não investido: R$,1000
Retorno esperado anual: R$,95
Risco médio ponderado do portfólio: 7\%

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