Um amigo seu decidiu aplicar R
2.000
7 %$ ao ano.
Os dados dos projetos são:
Projeto
Valor Máx. (R$)
Retorno Esperado (ano)
Risco (ano)
CAASO Go
700
Treino Saudável Cia.
500
Festa Digital
500
Software App
1.500
Seu amigo ouviu falar que você está cursando Programação Matemática e que essa tal de otimização pode ajudá-lo. Agora ele quer que você faça um modelo matemático que maximize o retorno do capital investido. Como seu amigo deve investir o dinheiro?
Os dados dos projetos são:
| Projeto | Valor Máx. (R$) | Retorno Esperado (ano) | Risco (ano) |
| CAASO Go | 700 |
|
|
| Treino Saudável Cia. | 500 |
|
|
| Festa Digital | 500 |
|
|
| Software App | 1.500 |
|
|
Passo 1
O enunciado pede que eu modele e resolva um problema de alocação dos
do seu amigo entre quatro projetos, de modo a maximizar o retorno esperado anual, respeitando que o risco máximo do investimento seja de
ao ano. Dados relevantes (peguei os números da tabela do enunciado):
Projeto CAASO Go: valor máximo
, retorno esperado
ao ano, risco
ao ano.
Projeto Treino Saudável Cia.: valor máximo , retorno esperado
ao ano, risco
ao ano.
Projeto Festa Digital: valor máximo , retorno esperado
ao ano, risco
ao ano.
Projeto Software App: valor máximo , retorno esperado
ao ano, risco
ao ano.
Projeto Treino Saudável Cia.: valor máximo
Projeto Festa Digital: valor máximo
Projeto Software App: valor máximo
Pergunta do enunciado: Como seu amigo deve investir o dinheiro? (ou seja, quanto investir em cada projeto, respeitando os limites, o capital total disponível e o risco máximo de
).
Passo 2
Defino as variáveis de decisão (claro e simples):
Cada
deve satisfazer
limite máximo do projeto (vou escrever os limites explicitamente logo adiante).
Passo 3
Construo a função objetivo: queremos maximizar o retorno esperado anual em reais. Se um projeto tem retorno percentual
por ano, o retorno em reais é
. Assim a função objetivo é
Explicando: por exemplo, investir
reais no projeto 1 rende
de
, ou seja
reais por ano de retorno esperado.
Passo 4
Agora o(s) restrição(ões). Temos:
- Restrição do capital disponível (não podemos investir mais do que
):
- Restrição de limite máximo por projeto (cada uma tirada da tabela):
- Restrição de risco: o enunciado impõe que o risco máximo do investimento seja de
ao ano. Como não há informação sobre correlações ou variância, usamos a interpretação mais natural aqui: o risco do portfólio é a média ponderada dos riscos dos projetos, ponderada pelo montante investido em cada um. Assim a restrição é
isto é, o risco ponderado (em porcentagem) não pode exceder
.
Passo 5
Transformo a desigualdade de risco numa forma linear (isso é só álgebra, nada de complicado). Multiplicando ambos os lados pelo denominador
(note que esse denominador é não-negativo):
Subtraindo o lado direito, obtemos uma restrição linear:
ou seja
Explicando o que isso significa: cada real colocado em projetos 1,3,4 aumenta a “folga de risco” (coeficientes positivos), enquanto cada real no projeto 2 diminui o risco médio relativo a
(coeficiente negativo). Então o investimento no projeto 2 “compensa” parte do risco dos outros — intuitivamente porque ele é mais seguro (risco
) que o teto permitido.
Passo 6
Resumo do modelo final (tudo linear):
Maximizar
sujeito a
Esse é um problema de Programação Linear simples (objetivo linear, restrições lineares).
Passo 7
Estratégia de resolução (intuição prática para a prova): com problemas pequenos como este dá para raciocinar com os coeficientes das restrições. Observe o coeficiente de cada
na restrição de risco:
Investir em
gera folga negativa na inequação de risco, ou seja, permite investir mais nos projetos de risco positivo. Portanto, é quase sempre vantajoso saturar (investir o máximo) em
, até o limite do projeto, porque ele tem coeficiente negativo e ainda dá retorno positivo (mesmo que o retorno percentual não seja o maior). Vamos testar essa ideia.
Passo 8
Coloco
no máximo:
. Expliquei antes: isso “cria espaço de risco” porque
na equação da restrição de risco. Assim a soma das contribuições dos projetos 1, 3 e 4 deve ser
, isto é:
Isso é o orçamento de risco positivo que resta para os projetos menos seguros, depois de usar o máximo do projeto 2.
Passo 9
Agora temos um pequeno problema de alocação desse “orçamento de risco” igual a
(unidade: resultado da soma dos coeficientes vezes reais). Para decidir entre projetos 1, 3 e 4, uma boa heurística é olhar quanto retorno adicional (em reais por real investido) cada projeto dá por unidade do “custo de risco” que consome. Ou seja, calcular para cada projeto a razão
Calculo essas razões:
Para
:
.
Para :
.
Para :
.
Para
Para
Interpretação: por cada “unidade de risco” (no sentido dessa restrição) que eu gastar, o projeto 4 (Software App) dá mais retorno que os outros. Logo, com o orçamento de risco limitado a
, devo prioritariamente investir em
até o máximo permitido pelo orçamento ou pelo limite de investimento do projeto.
Cada real em
usa
unidades do orçamento de risco. Então o máximo de
permitido por esse orçamento é
O limite do projeto permite até
, mas o orçamento de risco só permite
. Então fixamos
.
Passo 10
Com
e
a restrição de risco fica
Como
e
são não-negativos, isso força
. Ou seja, não posso investir nos projetos 1 ou 3 sem violar o limite de risco, dado que já estou com
e
nesses valores.
Soma dos investimentos obtida:
logo cabe no capital disponível. Restam
que, dada a restrição de risco, não podem ser aplicados em nenhum dos projetos sem exceder o risco máximo — portanto ficarão não investidos (ou em alternativa poderiam ir para um ativo de risco zero, se disponível).
Passo 11
Calculo do retorno esperado anual com essa solução:
O risco médio ponderado do portfólio investido (verificação):
Portanto a solução respeita exatamente o teto de
.
Breve verificação de optimalidade por comparação: tentei heurísticas alternativas (saturar
ou
primeiro) e elas geram menos retorno por unidade do orçamento de risco do que priorizar
. Como
é o único projeto com coeficiente negativo na restrição de risco, é benéfico saturá-lo para criar espaço de risco; com
saturado, a melhor utilização do espaço de risco é saturar
até o que o orçamento de risco permite (
). Assim chegamos a uma solução de canto do poliedro factível, que é ótima para um LP dessa natureza.
Passo 12
Interpretação final e incentivo: o resultado diz que, dadas as informações (retornos e riscos por projeto, limites e capital disponível), seu amigo deve colocar parte do dinheiro em uma combinação que atinge o teto de risco e maximiza o retorno dado esse teto; parte do capital ficará sem aplicar porque não dá para aplicar mais sem ultrapassar o risco permitido. Isso é comum em problemas de investimento com restrição de risco estrita.
Resposta
CAASO Go (
): R$,0
Treino Saudável Cia. ( ): R$,500
Festa Digital ( ): R$,0
Software App ( ): R$,500
Valor não investido: R$,1000
Retorno esperado anual: R$,95
Risco médio ponderado do portfólio:
Treino Saudável Cia. (
Festa Digital (
Software App (
Valor não investido: R$,1000
Retorno esperado anual: R$,95
Risco médio ponderado do portfólio: