Uma refinaria mistura 3 tipos de óleo cru (A, B, C) para produzir 2 tipos de gasolina (Regular e Premium).
Disponibilidade e Custo do Óleo Cru
  • Óleo A: 5000 barris, Custo: R \ 30 /$ barril
  • Óleo B: 3000 barris, Custo: R \ 35 /$ barril
  • Óleo C: 4000 barris, Custo: R \ 40 /$ barril
Demanda de Gasolina
  • Gasolina Regular: mínimo 3000 barris, máximo 5000 barris, Preço de Venda: R \ 55$ /barril
  • Gasolina Premium: mínimo 2000 barris, máximo 4000 barris, Preço de Venda: R \ 60 /$ barril
Especificações de Qualidade (Octanagem)
  • Gasolina Regular: octanagem mínima de 85
  • Gasolina Premium: octanagem mínima de 95
Octanagem dos Óleos Crus
  • Óleo A: 80
  • Óleo B: 90
  • Óleo C: 99
Objetivo: Determinar a mistura de óleo cru que maximize o lucro da refinaria, respeitando as restrições de demanda e qualidade.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a quantidade (em barris) de cada óleo cru (A, B, C) a serem usadas na produção de cada tipo de gasolina (Regular e Premium) de modo a maximizar o lucro da refinaria, respeitando disponibilidade, demanda e especificações de octanagem.
Informações relevantes do enunciado (vou listar exatamente os números fornecidos):
\begin{array}{lcl} \text{Disponibilidade e custo:} & & \\\ \text{Óleo A: } & 5000\\ \text{barris}, & \text{custo } \$30/\text{barril} \\\ \text{Óleo B: } & 3000\\ \text{barris}, & \text{custo } \$35/\text{barril} \\\ \text{Óleo C: } & 4000\\ \text{barris}, & \text{custo } \$40/\text{barril} \\[4pt] \text{Demanda e preço de venda:} & & \\\ \text{Regular: } & 3000\le R \le 5000\\ \text{barris}, & \text{preço } \$55/\text{barril} \\\ \text{Premium: } & 2000\le P \le 4000\\ \text{barris}, & \text{preço } \$60/\text{barril} \\[4pt] \text{Octanagem dos óleos:} & & \\\ \text{A: } 80,\quad \text{B: } 90,\quad \text{C: } 99 & & \\[4pt] \text{Requisitos de qualidade:} & & \\\ \text{Regular: octanagem média } \ge 85, & & \\\ \text{Premium: octanagem média } \ge 95. & & \end{array}ÓÓÓçççóéé
O que precisamos encontrar (objetivo): a quantidade de cada óleo que vai para Regular e para Premium que maximize o lucro, respeitando as restrições acima. (A resolução começa no Passo 2.)]

Passo 2

Definição de variáveis (claras e simples, uma por cada combinação óleo × produto):
\begin{aligned} &r_A=\text{barris do óleo A usados na Regular},\\\ &r_B=\text{barris do óleo B usados na Regular},\\\ &r_C=\text{barris do óleo C usados na Regular},\\[4pt] &p_A=\text{barris do óleo A usados na Premium},\\\ &p_B=\text{barris do óleo B usados na Premium},\\\ &p_C=\text{barris do óleo C usados na Premium}. \end{aligned}óóóóóó
Total produzido de cada gasolina:
\begin{aligned} &R = r_A + r_B + r_C,\\\ &P = p_A + p_B + p_C. \end{aligned}
Explico o raciocínio por trás das variáveis: cada variável representa a porção de um óleo que entra em um produto — isso é o que você terá que escrever numa prova. Usando essas variáveis conseguimos representar oferta, demanda, octanagem e lucro de forma linear.]

Passo 3

Formulando o lucro (função objetivo). Receita menos custo por barril, somando sobre todas as escolhas:
  • lucro por barril quando se usa óleo i na Regular é \text{preço}_R - \text{custo}_iç.
  • lucro por barril quando se usa óleo i na Premium é \text{preço}_P - \text{custo}_iç.
Calculemos os lucros unitários:
\begin{aligned} &\text{A: } &\text{Regular } 55-30=25,\quad &\text{Premium } 60-30=30,\\\ &\text{B: } &\text{Regular } 55-35=20,\quad &\text{Premium } 60-35=25,\\\ &\text{C: } &\text{Regular } 55-40=15,\quad &\text{Premium } 60-40=20. \end{aligned}
Logo a função objetivo (lucro total) a maximizar é
\begin{aligned} \text{Maximize } Z &= 25\,r_A + 20\,r_B + 15\,r_C \\\ &\quad +30\,p_A +25\,p_B +20\,p_C. \end{aligned}

Passo 4

Escrevendo as restrições (cada restrição será explicada):
  1. Limites de disponibilidade de cada óleo (não podemos usar mais do que existe):
\begin{aligned} &r_A + p_A \le 5000,\\\ &r_B + p_B \le 3000,\\\ &r_C + p_C \le 4000. \end{aligned}
  1. Restrições de demanda (cada produto tem mínimo e máximo):
\begin{aligned} &3000 \le R = r_A + r_B + r_C \le 5000,\\\ &2000 \le P = p_A + p_B + p_C \le 4000. \end{aligned}
  1. Restrições de octanagem — aqui explico como linearizar médias ponderadas (passo importante didático):
  • Para a Regular a octanagem média deve ser \ge 85. A média ponderada é
\frac{80\,r_A + 90\,r_B + 99\,r_C}{r_A + r_B + r_C} \ge 85.
Multiplicando ambos os lados por r_A+r_B+r_C (positivo porque a produção tem mínimo 3000) obtemos uma restrição linear:
80\,r_A + 90\,r_B + 99\,r_C \ge 85\,(r_A + r_B + r_C).
Subtraindo 85\,(r_A + r_B + r_C) dos dois lados:
(80-85)r_A+(90-85)r_B+(99-85)r_C \ge 0,
ou seja
-5\,r_A +5\,r_B +14\,r_C \ge 0.
  • Para a Premium, análogo, com limite de 95:
\frac{80\,p_A + 90\,p_B + 99\,p_C}{p_A + p_B + p_C} \ge 95
leva a
(80-95)p_A + (90-95)p_B + (99-95)p_C \ge 0,
ou seja
-15\,p_A -5\,p_B +4\,p_C \ge 0.
  1. Não-negatividade:
r_A,r_B,r_C,p_A,p_B,p_C \ge 0.
Essas são todas as equações/inequações que definem o problema de PL (tudo linear). Agora vamos resolver.

Passo 5

Estratégia de resolução (por que escolhi este caminho): problemas de mistura como este são PLs lineares. A maneira mais prática sem usar um software é observar que o lucro por barril difere por óleo e por produto; portanto, faz sentido produzir o máximo permitido de cada produto (quando os preços cobrem custos) e usar óleos nos lugares onde seu lucro marginal é maior, desde que as restrições de octanagem e disponibilidade permitam. Vou mostrar passo a passo essa lógica e como resolver as equações que aparecem.
Observações iniciais úteis:
  • Todos os preços de venda são maiores que custos, então não há razão para produzir menos que os mínimos; geralmente produzir no máximo a demanda é atraente (lucro por barril positivo). Aqui é razoável tentar R=5000 e P=4000 (máximos), desde que as restrições permitam. Mais produção (se fosse possível) daria mais lucro, mas estamos limitados pelas demandas.
  • Premium exige octanagem alta ( \ge95); apenas o óleo C tem octanagem acima de 95. Isso significa que, se usarmos quantidades não-nulas de A ou B em Premium, precisaremos de bastante C no Premium para compensar — a restrição fica pesada. Portanto é natural tentar solução com p_A=0 (não usar A na Premium), porque A em Premium força grande uso de C, o que costuma não compensar. Vou seguir essa hipótese e verificar sua validade/otimalidade.

Passo 6

Assumimos inicialmente (razão prática explicada acima) que:
p_A = 0.
Tentar incluir p_A>0 normalmente exige muito p_C para satisfazer octanagem e, pela diferença de lucros e disponibilidade, costuma ser pior. Vou resolver com p_A=0 e depois comentar por que isso é consistente.
Além disso, tentamos usar as demandas máximas (motivo: lucro por barril positivo):
R=5000,\qquad P=4000.
Com p_A=0 e P=4000, as variáveis do Premium ficam só p_B e p_C com
p_B + p_C = 4000.
A restrição de octanagem do Premium com p_A=0 é
-5\,p_B +4\,p_C \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 4\,p_C \ge 5\,p_B.
Como p_C = 4000 - p_B, substituindo,
4(4000 - p_B) \ge 5 p_B \quad\Longrightarrow\quad 16000 \ge 9 p_B,
ou seja
p_B \le \frac{16000}{9} \approx 1777{,}78.
Portanto, dado P=4000, a quantidade máxima de p_B compatível com octanagem é p_B=\dfrac{16000}{9}. Para maximizar lucro do Premium, note que o lucro do Premium é
30 p_A +25 p_B +20 p_C = 20\cdot 4000 +5 p_B +30 p_A.
Com p_A=0, isso fica 80000 +5 p_B: lucro do Premium aumenta com p_B. Logo, para P=4000 e p_A=0 o melhor é tomar p_B o máximo permitido pela octanagem:
p_B = \frac{16000}{9},\qquad p_C = 4000 - \frac{16000}{9} = \frac{20000}{9}.

Passo 7

Agora usamos essas escolhas de Premium para ver quanto sobra de cada óleo para a Regular:
  • B usado em Premium: p_B = \dfrac{16000}{9}. Assim sobra para Regular no máximo
r_B \le 3000 - \frac{16000}{9} = \frac{11000}{9}.
  • C usado em Premium: p_C=\dfrac{20000}{9}. Assim sobra para Regular no máximo
r_C \le 4000 - \frac{20000}{9} = \frac{16000}{9}.
  • A não foi usada em Premium ( p_A=0), então todo o A está disponível para Regular até 5000.
Vamos agora escolher r_A,r_B,r_C para R=5000 e para maximizar a contribuição da Regular dado os limites de sobra dos óleos.

Passo 8

O problema da Regular (com R=5000) é:
r_A + r_B + r_C = 5000,
com 0\le r_B \le \dfrac{11000}{9}, 0\le r_C \le \dfrac{16000}{9} e r_A\le 5000, e a restrição de octanagem
-5 r_A +5 r_B +14 r_C \ge 0.
Para simplificar a otimização da Regular, substituímos r_A = 5000 - r_B - r_C na inequação de octanagem:
-5(5000 - r_B - r_C) + 5 r_B +14 r_C \ge 0
que simplifica para
10 r_B +19 r_C \ge 25000.
O lucro da Regular (em função de r_B,r_C, já que r_A depende deles) é
25 r_A +20 r_B +15 r_C = 25(5000 - r_B - r_C) +20 r_B +15 r_C = 125000 -5 r_B -10 r_C.
Portanto, para maximizar lucro da Regular devemos minimizar 5 r_B +10 r_C sujeito a
10 r_B +19 r_C \ge 25000,\qquad 0\le r_B \le \frac{11000}{9},\quad 0\le r_C \le \frac{16000}{9}.
Análise simples: cada unidade de r_B melhora a desigualdade de octanagem em 10 unidades e custa 5 na função objetivo; cada unidade de r_C melhora a desigualdade em 19 unidades e custa 10. Para obter a mesma melhoria na LHS, r_B é ligeiramente mais “barato” (custo por unidade de melhoria é 5/10=0{,}5 para r_B e 10/19\approx0{,}5263 para r_C). Logo, é melhor usar primeiro todo r_B disponível antes de usar r_C.
Assim, escolhemos r_B no máximo possível:
r_B = \frac{11000}{9}.
Substituindo na desigualdade para achar r_C mínimo:
10\cdot\frac{11000}{9} + 19 r_C \ge 25000
\Rightarrow 19 r_C \ge 25000 - \frac{110000}{9} = \frac{225000 - 110000}{9} = \frac{115000}{9}
\Rightarrow r_C \ge \frac{115000}{171}.
Tomamos o menor r_C que satisfaz a condição, isto é
r_C = \frac{115000}{171}.
Agora determinamos r_A por r_A = 5000 - r_B - r_C:
r_A = 5000 - \frac{11000}{9} - \frac{115000}{171}.

Passo 9

Calculando os valores numéricos finais (faço os valores em frações e em decimais aproximados com duas casas decimais para facilitar leitura):
Valores exatos e aproximados:
\begin{aligned} &p_A = 0,\\[2pt] &p_B = \frac{16000}{9} \approx 1777{,}78,\\[2pt] &p_C = \frac{20000}{9} \approx 2222{,}22,\\[6pt] &r_B = \frac{11000}{9} \approx 1222{,}22,\\[2pt] &r_C = \frac{115000}{171} \approx 672{,}51,\\[2pt] &r_A = 5000 - r_B - r_C = \frac{531000}{171} \approx 3105{,}26. \end{aligned}
Verificações rápidas (importante para prova — sempre cheque):
  • Disponibilidade:
\begin{aligned} &r_A + p_A = 3105{,}26 \le 5000,\\\ &r_B + p_B = 1222{,}22 + 1777{,}78 = 3000 \\ (\text{igual à oferta}),\\\ &r_C + p_C = 672{,}51 + 2222{,}22 = 2894{,}73 \le 4000. \end{aligned}à
  • Demandas: R = 3105{,}26 + 1222{,}22 + 672{,}51 = 5000. P = 0 + 1777{,}78 + 2222{,}22 = 4000. OK.
  • Octanagem Regular:
-5 r_A +5 r_B +14 r_C \approx -5(3105{,}26) +5(1222{,}22) +14(672{,}51) \approx 0 \\ (\text{igual dentro de arredondamento}),
ou seja a restrição está ativa (binding).
  • Octanagem Premium:
-15 p_A -5 p_B +4 p_C = -5\cdot\frac{16000}{9} +4\cdot\frac{20000}{9} = \frac{-80000 + 80000}{9} = 0,
também está ativa — esperado para solução ótima (as restrições de qualidade costumam ficar ativas).
Cálculo do lucro total Z (usando decimais):
\begin{aligned} Z &= 25 r_A +20 r_B +15 r_C +30 p_A +25 p_B +20 p_C\\\ &\approx 25(3105{,}26) +20(1222{,}22) +15(672{,}51) +25(1777{,}78) +20(2222{,}22)\\\ &\approx 77631{,}58 +24444{,}44 +10087{,}69 +44444{,}44 +44444{,}44\\\ &\approx 201052{,}63. \end{aligned}
Assim o lucro máximo aproximado é \$201052{,}63.
Breve comentário de validação da suposição p_A=0: tentativas de colocar p_A>0 forçam p_C muito maior (por causa do coeficiente -15 em p_A na restrição de octanagem do Premium), consumindo C que é valioso para atender octanagem e demanda da Regular; dado as diferenças de lucro unitário e os limites de oferta, a escolha p_A=0 se mostra consistente com a solução ótima encontrada (verificou-se que as restrições de qualidade ficam ativas e as disponibilidades de B ficam totalmente usadas). Em termos intuitivos: A é barato e lucrativo na Regular; colocar A no Premium exige muito C extra e isso reduz lucro global.]

Resposta

Óleo A → Regular: \displaystyle r_A=\frac{531000}{171}\approx 3105{,}26 barris\n
Óleo B → Regular: \displaystyle r_B=\frac{11000}{9}\approx 1222{,}22 barris\n
Óleo C → Regular: \displaystyle r_C=\frac{115000}{171}\approx 672{,}51 barris\n
Óleo A → Premium: \displaystyle p_A=0 barris\n
Óleo B → Premium: \displaystyle p_B=\frac{16000}{9}\approx 1777{,}78 barris\n
Óleo C → Premium: \displaystyle p_C=\frac{20000}{9}\approx 2222{,}22 barris\n
Lucro máximo aproximado: \displaystyle Z\approx \$201052{,}63

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