Uma refinaria mistura 3 tipos de óleo cru (A, B, C) para produzir 2 tipos de gasolina (Regular e Premium).
Disponibilidade e Custo do Óleo Cru
- Óleo A: 5000 barris, Custo: R
30 /$ barril
- Óleo B: 3000 barris, Custo: R
35 /$ barril
- Óleo C: 4000 barris, Custo: R
40 /$ barril
Demanda de Gasolina
- Gasolina Regular: mínimo 3000 barris, máximo 5000 barris, Preço de Venda: R
55$ /barril
- Gasolina Premium: mínimo 2000 barris, máximo 4000 barris, Preço de Venda: R
60 /$ barril
Especificações de Qualidade (Octanagem)
- Gasolina Regular: octanagem mínima de 85
- Gasolina Premium: octanagem mínima de 95
Octanagem dos Óleos Crus
- Óleo A: 80
- Óleo B: 90
- Óleo C: 99
Objetivo: Determinar a mistura de óleo cru que maximize o lucro da refinaria, respeitando as restrições de demanda e qualidade.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a quantidade (em barris) de cada óleo cru (A, B, C) a serem usadas na produção de cada tipo de gasolina (Regular e Premium) de modo a maximizar o lucro da refinaria, respeitando disponibilidade, demanda e especificações de octanagem.
Informações relevantes do enunciado (vou listar exatamente os números fornecidos):
Informações relevantes do enunciado (vou listar exatamente os números fornecidos):
O que precisamos encontrar (objetivo): a quantidade de cada óleo que vai para Regular e para Premium que maximize o lucro, respeitando as restrições acima. (A resolução começa no Passo 2.)]
Passo 2
Definição de variáveis (claras e simples, uma por cada combinação óleo × produto):
Total produzido de cada gasolina:
Explico o raciocínio por trás das variáveis: cada variável representa a porção de um óleo que entra em um produto — isso é o que você terá que escrever numa prova. Usando essas variáveis conseguimos representar oferta, demanda, octanagem e lucro de forma linear.]
Passo 3
Formulando o lucro (função objetivo). Receita menos custo por barril, somando sobre todas as escolhas:
- lucro por barril quando se usa óleo
na Regular é . - lucro por barril quando se usa óleo
na Premium é .
Calculemos os lucros unitários:
Logo a função objetivo (lucro total) a maximizar é
Passo 4
Escrevendo as restrições (cada restrição será explicada):
- Limites de disponibilidade de cada óleo (não podemos usar mais do que existe):
- Restrições de demanda (cada produto tem mínimo e máximo):
- Restrições de octanagem — aqui explico como linearizar médias ponderadas (passo importante didático):
- Para a Regular a octanagem média deve ser
. A média ponderada é
Multiplicando ambos os lados por
(positivo porque a produção tem mínimo
) obtemos uma restrição linear:
Subtraindo
dos dois lados:
ou seja
- Para a Premium, análogo, com limite de
:
leva a
ou seja
- Não-negatividade:
Essas são todas as equações/inequações que definem o problema de PL (tudo linear). Agora vamos resolver.
Passo 5
Estratégia de resolução (por que escolhi este caminho): problemas de mistura como este são PLs lineares. A maneira mais prática sem usar um software é observar que o lucro por barril difere por óleo e por produto; portanto, faz sentido produzir o máximo permitido de cada produto (quando os preços cobrem custos) e usar óleos nos lugares onde seu lucro marginal é maior, desde que as restrições de octanagem e disponibilidade permitam. Vou mostrar passo a passo essa lógica e como resolver as equações que aparecem.
Observações iniciais úteis:
- Todos os preços de venda são maiores que custos, então não há razão para produzir menos que os mínimos; geralmente produzir no máximo a demanda é atraente (lucro por barril positivo). Aqui é razoável tentar
e (máximos), desde que as restrições permitam. Mais produção (se fosse possível) daria mais lucro, mas estamos limitados pelas demandas. - Premium exige octanagem alta (
); apenas o óleo C tem octanagem acima de 95. Isso significa que, se usarmos quantidades não-nulas de A ou B em Premium, precisaremos de bastante C no Premium para compensar — a restrição fica pesada. Portanto é natural tentar solução com (não usar A na Premium), porque A em Premium força grande uso de C, o que costuma não compensar. Vou seguir essa hipótese e verificar sua validade/otimalidade.
Passo 6
Assumimos inicialmente (razão prática explicada acima) que:
Tentar incluir
normalmente exige muito
para satisfazer octanagem e, pela diferença de lucros e disponibilidade, costuma ser pior. Vou resolver com
e depois comentar por que isso é consistente.
Além disso, tentamos usar as demandas máximas (motivo: lucro por barril positivo):
Com
e
, as variáveis do Premium ficam só
e
com
A restrição de octanagem do Premium com
é
Como
, substituindo,
ou seja
Portanto, dado
, a quantidade máxima de
compatível com octanagem é
. Para maximizar lucro do Premium, note que o lucro do Premium é
Com
, isso fica
: lucro do Premium aumenta com
. Logo, para
e
o melhor é tomar
o máximo permitido pela octanagem:
Passo 7
Agora usamos essas escolhas de Premium para ver quanto sobra de cada óleo para a Regular:
- B usado em Premium:
. Assim sobra para Regular no máximo
- C usado em Premium:
. Assim sobra para Regular no máximo
- A não foi usada em Premium (
), então todo o A está disponível para Regular até .
Vamos agora escolher
para
e para maximizar a contribuição da Regular dado os limites de sobra dos óleos.
Passo 8
O problema da Regular (com
) é:
com
,
e
, e a restrição de octanagem
Para simplificar a otimização da Regular, substituímos
na inequação de octanagem:
que simplifica para
O lucro da Regular (em função de
, já que
depende deles) é
Portanto, para maximizar lucro da Regular devemos minimizar
sujeito a
Análise simples: cada unidade de
melhora a desigualdade de octanagem em
unidades e custa
na função objetivo; cada unidade de
melhora a desigualdade em
unidades e custa
. Para obter a mesma melhoria na LHS,
é ligeiramente mais “barato” (custo por unidade de melhoria é
para
e
para
). Logo, é melhor usar primeiro todo
disponível antes de usar
.
Assim, escolhemos
no máximo possível:
Substituindo na desigualdade para achar
mínimo:
Tomamos o menor
que satisfaz a condição, isto é
Agora determinamos
por
:
Passo 9
Calculando os valores numéricos finais (faço os valores em frações e em decimais aproximados com duas casas decimais para facilitar leitura):
Valores exatos e aproximados:
Verificações rápidas (importante para prova — sempre cheque):
- Disponibilidade:
- Demandas:
. . OK. - Octanagem Regular:
ou seja a restrição está ativa (binding).
- Octanagem Premium:
também está ativa — esperado para solução ótima (as restrições de qualidade costumam ficar ativas).
Cálculo do lucro total
(usando decimais):
Assim o lucro máximo aproximado é
.
Breve comentário de validação da suposição
: tentativas de colocar
forçam
muito maior (por causa do coeficiente
em
na restrição de octanagem do Premium), consumindo C que é valioso para atender octanagem e demanda da Regular; dado as diferenças de lucro unitário e os limites de oferta, a escolha
se mostra consistente com a solução ótima encontrada (verificou-se que as restrições de qualidade ficam ativas e as disponibilidades de B ficam totalmente usadas). Em termos intuitivos: A é barato e lucrativo na Regular; colocar A no Premium exige muito C extra e isso reduz lucro global.]
Resposta
Óleo A → Regular:
barris\n
Óleo B → Regular: barris\n
Óleo C → Regular: barris\n
Óleo A → Premium: barris\n
Óleo B → Premium: barris\n
Óleo C → Premium: barris\n
Lucro máximo aproximado:
Óleo B → Regular:
Óleo C → Regular:
Óleo A → Premium:
Óleo B → Premium:
Óleo C → Premium:
Lucro máximo aproximado: