Uma empresa produz ração para frangos. A ração deve conter:
  • Pelo menos 0,8 \% de Cálcio ( Ca );
  • No máximo 0,3 \% de Fibras.
Ingrediente Custo (R$/kg) Teor de Cálcio Teor de Fibras
Milho 0,20 0,001(0,1 \%) 0,03(3 \%)
Soja 0,50 0,002(0,2 \%) 0,05(5 \%)
Farinha de Osso 1,00 0,8(80 \%) 0,0(0 \%)
Objetivo: Determinar a mistura de custo mínimo para 1 kg de ração.

Passo 1

O problema pede: determinar a mistura de 1 kg de ração (quantidades dos ingredientes em kg) que minimize o custo, respeitando as duas restrições de composição:
  • Pelo menos 0,8\% de Cálcio;
  • No máximo 0,3\% de Fibras.
Informações relevantes dadas (peguei os dados da tabela do enunciado):
  • Custos por kg: Milho =0,20 R$/kg, Soja =0,50 R$/kg, Farinha de Osso =1,00 R$/kg.
  • Teores (transformei porcentagens em frações decimais):
    • Cálcio: Milho =0,001 (isto é 0,1\%), Soja =0,002 ( 0,2\%), Farinha de Osso =0,8 ( 80\%).
    • Fibras: Milho =0,03 ( 3\%), Soja =0,05 ( 5\%), Farinha de Osso =0 ( 0\%).
  • Meta: mistura total de 1 kg.
Não resolvo nada aqui ainda; apenas deixei claro o que é pedido e os dados que vamos usar.

Passo 2

Vamos definir as variáveis (sempre o primeiro passo prático em problemas de mistura):
  • x_1 = quantidade de Milho (kg) na mistura.
  • x_2 = quantidade de Soja (kg) na mistura.
  • x_3 = quantidade de Farinha de Osso (kg) na mistura.
Condição óbvia de massa: a mistura tem exatamente 1 kg, então teremos a equação
x_1 + x_2 + x_3 = 1.
Também valem as condições de não-negatividade:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0,\qquad x_3 \ge 0.

Passo 3

Agora escrevemos matematicamente as restrições de Cálcio e Fibras usando os teores (explico cada termo):
  • Cálcio total da mistura (fração) é a soma do teor de cada ingrediente multiplicado pela sua massa:
    \text{Cálcio total} = 0,001x_1 + 0,002x_2 + 0,8x_3.á
    A exigência "pelo menos 0,8\%" significa que a fração de cálcio deve ser \ge 0,008. Assim:
    0,001x_1 + 0,002x_2 + 0,8x_3 \ge 0,008.
    Explicação rápida: 0,008 é 0{,}8\% em forma decimal (dividimos 0{,}8 por 100).
  • Fibras total da mistura (fração) é
    \text{Fibras total} = 0,03x_1 + 0,05x_2 + 0\cdot x_3 = 0,03x_1 + 0,05x_2.
    A exigência "no máximo 0,3\%" equivale a \le 0,003. Assim:
    0,03x_1 + 0,05x_2 \le 0,003.
    Observação: a farinha de osso não contribui para fibras (teor 0).

Passo 4

Escrevemos a função custo que queremos minimizar. O custo (R$ por kg de mistura) é a soma dos custos dos ingredientes multiplicados por suas massas:
\text{Custo} = 0,20x_1 + 0,50x_2 + 1,00x_3.
Objetivo: minimizar essa expressão sujeita às restrições do Passo 3.

Passo 5

Para simplificar, usamos a equação de massa x_1+x_2+x_3=1 para eliminar x_3. Substituímos x_3 = 1 - x_1 - x_2. Isso reduz o problema a duas variáveis, o que facilita visualizar e resolver (muito comum em problemas de mistura).
Eu explico por que isso é válido: como a soma é fixa em 1, qualquer tripla (x_1,x_2,x_3) corresponde a um par (x_1,x_2) com x_3 determinado; assim podemos trabalhar só com x_1 e x_2 e manter a igualdade automaticamente.

Passo 6

Substituindo x_3 = 1 - x_1 - x_2 nas restrições e no custo, obtemos:
  • Restrição de Cálcio:
0,001x_1 + 0,002x_2 + 0,8(1 - x_1 - x_2) \ge 0,008.
Faço a álgebra passo a passo:
0,001x_1 + 0,002x_2 + 0,8 - 0,8x_1 - 0,8x_2 \ge 0,008.
Junto termos com x_1 e x_2:
0,8 - 0,799x_1 - 0,798x_2 \ge 0,008.
Subtraindo 0,8 dos dois lados:
-0,799x_1 - 0,798x_2 \ge -0,792.
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a desigualdade):
0,799x_1 + 0,798x_2 \le 0,792.
Essa é a forma final da restrição de cálcio em x_1,x_2.
  • Restrição de Fibras (já não depende de x_3):
0,03x_1 + 0,05x_2 \le 0,003.
  • Condição de x_3\ge 0 vira x_1 + x_2 \le 1, e mantemos x_1\ge 0,\; x_2\ge 0.
  • Função custo substituída:
\text{Custo} = 0,20x_1 + 0,50x_2 + 1(1 - x_1 - x_2) = 1 - 0,80x_1 - 0,50x_2.
Como 1 é constante, minimizar o custo é equivalente a maximizar a quantidade
0,80x_1 + 0,50x_2.
Explicação: isso é só uma manipulação algébrica útil — minimizar 1 - Z é a mesma coisa que maximizar Z.

Passo 7

Agora o problema reduzido (dois variáveis) é:
Maximizar
Z = 0,80x_1 + 0,50x_2
sujeito a
\begin{cases} 0,03x_1 + 0,05x_2 \le 0,003,\\[4pt] 0,799x_1 + 0,798x_2 \le 0,792,\\[4pt] x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0,\quad x_1 + x_2 \le 1. \end{cases}
Observação importante (intuição): as componentes têm teores de fibras relativamente altos (milho 3\%, soja 5\%) e a exigência de fibras é muito baixa ( 0{,}3\%), então a restrição de fibras tende a ser a mais limitante — isto é, ela vai limitar fortemente quanto milho/soja podemos pôr. A restrição de cálcio é fácil de satisfazer porque a farinha de osso traz muito cálcio ( 80\%). Vamos verificar isso numericamente nos próximos passos.]

Passo 8

Estudamos a restrição de fibras pois é a mais apertada. Encontramos interceptos (pontos onde uma variável é zero):
  • Se x_2=0, da fibra: 0,03x_1 \le 0,003 x_1 \le \dfrac{0,003}{0,03} = 0,1.
    Isso significa que, se só usássemos milho além da farinha de osso, no máximo podemos usar 0{,}1 kg de milho (10%) para não estourar o limite de fibras.
  • Se x_1=0, da fibra: 0,05x_2 \le 0,003 x_2 \le \dfrac{0,003}{0,05} = 0,06.
    Ou seja, no máximo 0{,}06 kg (6%) de soja se fosse só soja + farinha de osso.
Também verificamos rapidamente a restrição de cálcio nos mesmos pontos para ver se ela limita mais:
  • Com x_1=0{,}1,\; x_2=0, a restrição de cálcio dá 0,799(0{,}1)+0,798(0)=0,0799 \le 0,792 — satisfeita. (Mostra que cálcio não impede esse ponto.)
  • Com x_1=0,\; x_2=0{,}06, temos 0,799(0)+0,798(0{,}06)=0,04788 \le 0,792 — também satisfeita.
Conclusão: a restrição de fibras limita muito mais os x_1,x_2 do que a de cálcio. Logo o máximo de Z ocorrerá sobre a fronteira da restrição de fibras (ou em eixos).

Passo 9

Como estamos maximizando [Z=0,80x_1+0,50x_2) e a região factível em x_1,x_2 é um polígono convexo limitado principalmente pela reta de fibras 0,03x_1+0,05x_2=0,003 e pelos eixos, o valor máximo ocorre num vértice dessa região. Avaliamos os principais vértices:
  1. Vértice onde não se coloca milho nem soja: x_1=0,\;x_2=0 → só farinha de osso ( x_3=1).
    • Custo: 1 - 0,80\cdot 0 - 0,50\cdot 0 = 1,00 R$/kg.
  2. Vértice intercepto com o eixo x_2=0 da restrição de fibras: x_1=0,1,\;x_2=0 (máximo milho permitido pela fibra).
    • Calculamos custo direto: custo =0,20\cdot 0,1 + 1\cdot 0,9 = 0,02 + 0,90 = 0,92 R$/kg.
    • Ou pela fórmula 1 - 0,80(0,1) - 0,50(0)=1 - 0,08 = 0,92.
  3. Vértice intercepto com o eixo x_1=0 da restrição de fibras: x_1=0,\;x_2=0,06 (máximo soja permitido).
    • Custo: =0,50\cdot 0,06 + 1\cdot 0,94 = 0,03 + 0,94 = 0,97 R$/kg.
    • Ou 1 - 0,80(0) - 0,50(0,06) = 1 - 0,03 = 0,97.
  4. Podemos também avaliar se a reta de cálcio corta a região próxima e forma outro vértice relevante, mas já vimos que a restrição de cálcio é frouxa (os pontos acima satisfazem cálcio). Para ter um vértice útil a partir da interseção das duas retas (fibras e cálcio) seria preciso que essa interseção estivesse dentro do primeiro quadrante e respeitasse x_1+x_2\le1. Vamos checar a interseção das duas retas por completude (mas não é necessária se já temos melhores vértices):
    • Resolver \begin{cases} 0,03x_1 + 0,05x_2 = 0,003,\\\\ 0,799x_1 + 0,798x_2 = 0,792. \end{cases}
    • Esta interseção fornece valores de x_1,x_2\] que estão muito próximos de zero para \(x_1 e x_2 grandes? Na prática, a primeira equação dá máximos muito pequenos ( x_1\le0,1,\;x_2\le0,06), enquanto a segunda permite valores até aproximadamente x_1\approx 0,99 ou x_2\approx 0,99. Por esse contraste, a interseção está dentro do retângulo pequeno definido pela fibra, mas podemos evitar cálculos longos porque já comparamos os vértices básicos e o melhor até agora é o ponto (2).
Comparando os custos calculados: 1{,}00, 0{,}92, 0{,}97. O menor custo encontrado é 0{,}92 R$/kg no ponto x_1=0{,}1,\;x_2=0.

Passo 10

Interpretação e conclusão: o melhor que conseguimos é usar 0{,}1 kg de Milho e 0 kg de Soja, e o resto Farinha de Osso, i.e. x_3 = 1 - 0{,}1 - 0 = 0{,}9 kg. Isso respeita a fibra máxima exatamente (a fibra fica em 0{,}03\cdot 0{,}1 = 0{,}003) e excede folgadamente o mínimo de cálcio (pois a farinha de osso traz muito cálcio). A soja não aparece na solução ótima porque, por unidade de fibra permitida, o milho permite incluir mais “carga” que reduz mais o custo (milho é mais barato que soja e dá menos penalidade no objetivo por unidade de fibra).

Resposta

Milho =0,1 kg
Soja =0 kg
Farinha de Osso =0,9 kg
Custo mínimo =0,92 R$/kg

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