Amônia decompõe-se na superfície de um filamento aquecido de Tungstênio. Os seguintes tempos de meia-vida foram obtidos a 1100^{\circ} \mathrm{C} para esse experimento em diferentes concentrações iniciais:
\left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{0}=3,1 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \Rightarrow tempo de meia-vida =7,6 \mathrm{~min};
\left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{0}=1,5 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \Rightarrow tempo de meia-vida =3,7 \mathrm{~min};
\left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{0}=6,8 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \Rightarrow tempo de meia-vida =1,7 \mathrm{~min}.
Com base nos dados apresentados acima, determinar para essa decomposição:
a. A ordem da reação;
b. A constante de velocidade.

Passo 1

O enunciado dá três medidas de tempo de meia-vida para a decomposição da amônia a 1100^\circ\mathrm{C} em diferentes concentrações iniciais e pede duas coisas:
  • (a) determinar a ordem da reação;
  • (b) determinar a constante de velocidade.
Dados fornecidos:
\left[\mathrm{NH}_3\right]_0 = 3{,}1\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}},\quad t_{1/2}=7{,}6\\ \mathrm{min};
\left[\mathrm{NH}_3\right]_0 = 1{,}5\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}},\quad t_{1/2}=3{,}7\\ \mathrm{min};
\left[\mathrm{NH}_3\right]_0 = 6{,}8\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}},\quad t_{1/2}=1{,}7\\ \mathrm{min}.

Passo 2

O que é tempo de meia-vida? É o tempo necessário para que a concentração do reagente caia à metade do valor inicial:
t_{1/2}:\quad [A](t_{1/2})=\tfrac{1}{2}[A]_0.
Dependência do tempo de meia-vida com [A]_0 nos ajuda a identificar a ordem da reação porque cada ordem tem uma fórmula característica para t_{1/2}. Vou apresentar as fórmulas para ordens comuns (zero, um e dois) e explicar como obtê-las.

Passo 3

Ordem zero: comece pela lei de velocidade para ordem zero:
\text{velocidade} = -\frac{d[A]}{dt} = k,
onde k é a constante de velocidade (aqui positiva) e [A] é a concentração de \mathrm{NH}_3. Integramos com condição inicial [A](0)=[A]_0:
\frac{d[A]}{dt} = -k \quad\Rightarrow\quad [A](t)=[A]_0 - kt.
Agora impondo [A](t_{1/2})=\tfrac{1}{2}[A]_0:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0 - k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2}=\frac{[A]_0}{2k}.
Interpretação: para ordem zero, t_{1/2} é diretamente proporcional a [A]_0.

Passo 4

Ordem um: lei da velocidade
-\frac{d[A]}{dt} = k[A].
Integração com [A](0)=[A]_0
\ln\frac{[A](t)}{[A]_0} = -kt \quad\Rightarrow\quad [A](t)=[A]_0 e^{-kt}.
Do que segue
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Interpretação: para ordem um, t_{1/2} é independente de [A]_0 (é constante).

Passo 5

Ordem dois (caso simples 2 em um único reagente): lei
-\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2.
Integração com [A](0)=[A]_0
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + kt.
Impondo [A](t_{1/2})=\tfrac{1}{2}[A]_0 obtemos
\frac{1}{(\tfrac{1}{2}[A]_0)}=\frac{1}{[A]_0}+k t_{1/2}\quad\Rightarrow\quad t_{1/2}=\frac{1}{k[A]_0}.
Interpretação: para ordem dois, t_{1/2} é inversamente proporcional a [A]_0.

Passo 6

Agora compare as dependências teóricas com os dados experimentais:
  • Se t_{1/2} fosse constante ao variar [A]_0 → ordem 1.
  • Se t_{1/2}\propto [A]_0 → ordem 0.
  • Se t_{1/2}\propto 1/[A]_0 → ordem 2.
Olhemos os dados:
\begin{aligned} &[A]_0=6{,}8\times 10^{-4}\\ \Rightarrow\\ t_{1/2}=1{,}7\\ \mathrm{min},\\\ &[A]_0=1{,}5\times 10^{-3}\\ \Rightarrow\\ t_{1/2}=3{,}7\\ \mathrm{min},\\\ &[A]_0=3{,}1\times 10^{-3}\\ \Rightarrow\\ t_{1/2}=7{,}6\\ \mathrm{min}. \end{aligned}
Se multiplicarmos [A]_0 aproximadamente por 2{,}0 (de 6{,}8\times10^{-4} para 1{,}5\times10^{-3}) vemos que t_{1/2} também dobra aproximadamente (de 1{,}7 para 3{,}7). De 1{,}5\times10^{-3} para 3{,}1\times10^{-3} [A]_0 ~ dobra e t_{1/2} passa de 3{,}7 para 7{,}6 (também quase dobra). Isso é compatível com t_{1/2} diretamente proporcional a [A]_0, ou seja, comportamento de ordem zero.

Passo 7

Conclusão da ordem (parte a): a reação é de ordem zero com respeito a \mathrm{NH}_3.

Passo 8

Agora vamos determinar a constante k usando a fórmula de ordem zero:
t_{1/2}=\frac{[A]_0}{2k}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{[A]_0}{2t_{1/2}}.
Calculamos k separadamente para cada par [A]_0,\\ t_{1/2} para checar consistência.
Para [A]_0=3{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} e t_{1/2}=7{,}6\\ \mathrm{min}:
k=\frac{3{,}1\times10^{-3}}{2\cdot 7{,}6}=\frac{3{,}1\times10^{-3}}{15{,}2}=2{,}039473684\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}.
Para [A]_0=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} e t_{1/2}=3{,}7\\ \mathrm{min}:
k=\frac{1{,}5\times10^{-3}}{2\cdot 3{,}7}=\frac{1{,}5\times10^{-3}}{7{,}4}=2{,}027027027\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}.
Para [A]_0=6{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} e t_{1/2}=1{,}7\\ \mathrm{min}:
k=\frac{6{,}8\times10^{-4}}{2\cdot 1{,}7}=\frac{6{,}8\times10^{-4}}{3{,}4}=2{,}000000000\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 9

Os três valores de k são muito próximos, o que confirma a escolha de ordem zero. Podemos tomar a média aritmética para um valor representativo:
k_{\text{média}}=\frac{2{,}039473684+2{,}027027027+2{,}000000000}{3}\times10^{-4} =2{,}022166237\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}.é
Arredondando com número de algarismos significativos apropriado (os dados têm normalmente 2–3 algarismos significativos), fica
k=2{,}02\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 10

Unidades: para reação de ordem zero a constante de velocidade tem unidade de concentração/tempo, aqui \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}. Boa notícia: os dados caíram certinho — você fez a escolha correta e obteve uma k consistente com todas as medidas. Força aí, já tá dominando!

Resposta

a. Ordem zero.
b. k=2{,}02\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\,min^{-1}}

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