(Fgv) As propriedades radioativas de { }^{14} \mathrm{C} usualmente são empregadas para fazer a datação de fósseis. Sabe-se que a meiavida deste elemento é de aproximadamente 5.730 anos. Sendo assim, estima-se que a idade de um fóssil que apresenta uma taxa de { }^{14} \mathrm{C} em torno de 6,25 \% da normal deve ser:
A. 17.190 anos.
B. 91.680 anos.
C. 5.730 anos.
D. 28.650 anos.
E. 22.920 anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara.
  • Dado: a meia-vida do {}^{14}\mathrm{C} é \;5.730 anos.
  • Dado: um fóssil apresenta uma taxa de {}^{14}\mathrm{C} em torno de \;6,25\% da normal (isto é, restou \;6,25\% do carbono original).
  • Pedido: estimar a idade do fóssil (ou seja, quantos anos se passaram desde que o organismo morreu).

Passo 2

Entendendo o modelo de decaimento e a fórmula que usamos.
  • Sistemas radioativos decaem de forma exponencial. A fórmula que relaciona a quantidade restante N(t) em função do tempo t e da meia-vida T é
N(t)=N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}},
onde:
  • N_0 é a quantidade inicial de {}^{14}\mathrm{C} (quando o organismo estava vivo),
  • N(t) é a quantidade após t anos,
  • T é a meia-vida (aqui T=5.730 anos),
  • o fator \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} representa quantas meias-vidas cabem em t.
Essa fórmula vem da definição de meia-vida: após um período T resta metade, depois 2T resta um quarto, e assim por diante; por isso usamos a potência \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}.

Passo 3

Passando a informação do enunciado para a fórmula.
  • A informação “restou \;6,25\%” significa
\frac{N(t)}{N_0}=6,25\%=\tfrac{6,25}{100}=\;0,0625.
  • Então substituímos na fórmula do decaimento:
0,0625=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5.730}}.

Passo 4

Simplificando 0,0625 em potências de 2 (truque prático que facilita no exame).
  • Sabemos que 0,0625=\tfrac{1}{16}. E \tfrac{1}{16}=(\tfrac{1}{2})^4, porque 16=2^4.
  • Logo podemos escrever
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5.730}}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^4.
  • Como as bases são iguais e não nulas, igualamos os expoentes:
\frac{t}{5.730}=4.

Passo 5

Isolando t e interpretando o resultado (aqui é óbvio o raciocínio: restou 1/16, ou seja, passaram-se quatro meias-vidas).
  • Da igualdade anterior vem
t=4\cdot 5.730.
  • Esse resultado tem um significado físico simples: se restou 1/16, isso equivale a ter passado exatamente 4 meias-vidas.

Passo 6

Cálculo prático que você fará rápido na prova sem calculadora.
  • Podemos multiplicar:
    • 5.730\times 2=11.460,
    • 11.460\times 2=22.920.
  • Portanto t=22.920 anos (ou seja, passaram-se vinte e dois mil novecentos e vinte anos desde a morte do organismo).

Resposta

E. 22.920 anos.

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