(Fgv) As propriedades radioativas de
usualmente são empregadas para fazer a datação de fósseis. Sabe-se que a meiavida deste elemento é de aproximadamente 5.730 anos. Sendo assim, estima-se que a idade de um fóssil que apresenta uma taxa de
em torno de
da normal deve ser:
A. 17.190 anos.
B. 91.680 anos.
C. 5.730 anos.
D. 28.650 anos.
E. 22.920 anos.
A. 17.190 anos.
B. 91.680 anos.
C. 5.730 anos.
D. 28.650 anos.
E. 22.920 anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara.
- Dado: a meia-vida do
é anos. - Dado: um fóssil apresenta uma taxa de
em torno de da normal (isto é, restou do carbono original). - Pedido: estimar a idade do fóssil (ou seja, quantos anos se passaram desde que o organismo morreu).
Passo 2
Entendendo o modelo de decaimento e a fórmula que usamos.
- Sistemas radioativos decaem de forma exponencial. A fórmula que relaciona a quantidade restante
em função do tempo e da meia-vida é
onde:
-
é a quantidade inicial de (quando o organismo estava vivo), -
é a quantidade após anos, -
é a meia-vida (aqui anos), - o fator
representa quantas meias-vidas cabem em .
Essa fórmula vem da definição de meia-vida: após um período
resta metade, depois
resta um quarto, e assim por diante; por isso usamos a potência
.
Passo 3
Passando a informação do enunciado para a fórmula.
- A informação “restou
” significa
- Então substituímos na fórmula do decaimento:
Passo 4
Simplificando
em potências de
(truque prático que facilita no exame).
- Sabemos que
. E , porque . - Logo podemos escrever
- Como as bases são iguais e não nulas, igualamos os expoentes:
Passo 5
Isolando
e interpretando o resultado (aqui é óbvio o raciocínio: restou
, ou seja, passaram-se quatro meias-vidas).
- Da igualdade anterior vem
- Esse resultado tem um significado físico simples: se restou
, isso equivale a ter passado exatamente meias-vidas.
Passo 6
Cálculo prático que você fará rápido na prova sem calculadora.
- Podemos multiplicar:
-
, -
.
-
- Portanto
anos (ou seja, passaram-se vinte e dois mil novecentos e vinte anos desde a morte do organismo).
Resposta
E.
anos.