A seguinte reação de primeira ordem é realizada em meio a tetracloreto de carbono \left(\mathrm{CCl}_{4}\right) a 45^{\circ} \mathrm{C} em um recipiente de 1 L :
Pentóxido de Dinitrogênio \rightarrow Tetróxido de Dinitrogênio + .Oxigênio.
A constante de velocidade é igual a 6,2 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1}.
Se 80 g de Pentóxido são dissolvidas em tetracloreto e colocadas para decompor a 45^{\circ} \mathrm{C}, calcular:
a) o número de horas necessário para a quantidade de pentóxido reduzir para 2,5 \mathrm{~g};
b) o volumé, em \mathrm{cm}^{3}, de oxigênio produzido e armazenado nas CNTP.

Passo 1

O enunciado fornece uma reação de decomposição do pentóxido de dinitrogênio em tetróxido de dinitrogênio e oxigénio, realizada em solução em \mathrm{CCl}_4 a 45^\circ\mathrm{C} em um recipiente de 1\\ \mathrm{L}. Os dados relevantes são:
  • velocidade de reação (ordem 1) \;k = 6,2\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1};
  • massa inicial de pentóxido de dinitrogênio \;m_0 = 80\\ \mathrm{g};
  • massa final desejada \;m = 2,5\\ \mathrm{g};
  • volume do sistema constante ( 1\\ \mathrm{L}), portanto concentração varia proporcionalmente à massa;
  • pedido (duas perguntas):
    1. tempo necessário para a massa cair de 80\\ \mathrm{g} para 2,5\\ \mathrm{g};
    2. volume, em \mathrm{cm}^3, de \mathrm{O}_2 produzido e armazenado nas CNTP (condições normais de temperatura e pressão).

Passo 2

Entendendo a cinética de primeira ordem (aulas rápidas e práticas).
  • Para uma reação de primeira ordem em relação ao reagente A (aqui A = pentóxido de dinitrogênio), a lei diferencial é
-\frac{d[A]}{dt} = k[A],
onde [A] é a concentração de A em mol·L^{-1} (ou proporcional à massa quando o volume é constante) e k é a constante de velocidade com unidade \mathrm{s}^{-1}.
  • Integrando essa equação obtemos a lei integrada:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -kt,
onde [A]_0 é a concentração inicial e [A](t) a concentração no tempo t.
  • Observação prática importante: se o volume do sistema é constante (aqui 1\\ \mathrm{L}), as concentrações são diretamente proporcionais às massas. Logo podemos usar massas no lugar de concentrações na razão [A](t)/[A]_0. Assim:
\ln\!\left(\frac{m(t)}{m_0}\right) = -kt.
  • Variáveis explicadas:
    • [A]_0 ou m_0: quantidade inicial do reagente (mol ou g);
    • [A](t) ou m(t): quantidade no tempo t;
    • k: constante de velocidade (aqui 6,2\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1});
    • t: tempo que queremos achar (unidade de segundos na fórmula se k está em \mathrm{s}^{-1}).

Passo 3

Cálculo do tempo necessário para a massa cair de 80\\ \mathrm{g} para 2,5\\ \mathrm{g}.
  • Substituindo m_0=80\\ \mathrm{g}, m(t)=2,5\\ \mathrm{g} e k=6,2\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1} na lei integrada:
\ln\!\left(\frac{2,5}{80}\right) = -kt.
  • Reescrevendo como razão inversa (para evitar log de número muito pequeno):
\ln\!\left(\frac{80}{2,5}\right) = kt.
  • Calcule a razão \dfrac{80}{2,5}=32. Como 32 = 2^5, temos
\ln(32)=5\ln(2)\approx 5\times 0,693147=3,465735.
  • Então o tempo em segundos é
t = \frac{\ln(32)}{k} = \frac{3,465735}{6,2\times 10^{-4}}\\ \mathrm{s}.
  • Fazendo a divisão:
t \approx 5590,2\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas (uma hora = 3600\\ \mathrm{s}):
t \approx \frac{5590,2}{3600}\\ \mathrm{h}\approx 1,5528\\ \mathrm{h}.
  • Podemos também expressar em horas e minutos: 0,5528\\ \mathrm{h}\times 60\\ \mathrm{min/h}\approx 33,17\\ \mathrm{min}. Então t\approx 1\\ \mathrm{h}\\\ 33{,}2\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Determinar a quantidade de \mathrm{O}_2 produzida (este passo envolve estequiometria e cálculo estequiométrico).
  • Primeiro escrevemos e balanceamos a reação. A decomposição do pentóxido de dinitrogênio é:
\mathrm{N_2O_5}\longrightarrow \mathrm{N_2O_4} + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O_2}.
Uma forma inteira balanceada é
2\,\mathrm{N_2O_5} \longrightarrow 2\,\mathrm{N_2O_4} + \mathrm{O_2}.
  • Da estequiometria vemos que 1 mol de \mathrm{N_2O_5} produz 0{,}5 mol de \mathrm{O_2}.
  • Quantidade de pentóxido consumida: massa inicial 80\\ \mathrm{g} menos massa restante 2,5\\ \mathrm{g} resulta em
m_{\text{consumida}} = 80 - 2,5 = 77,5\\ \mathrm{g}.
  • Calcular a massa molar do \mathrm{N_2O_5}:
    • massa atômica do N \approx 14{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} 2\times 14{,}01 = 28{,}02\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}};
    • massa de O \approx 16{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} 5\times 16{,}00 = 80{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}};
    • massa molar total \;M(\mathrm{N_2O_5}) = 28{,}02 + 80{,}00 = 108{,}02\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Moles de \mathrm{N_2O_5} consumidos:
n_{\mathrm{N_2O_5}}=\frac{77,5}{108{,}02}\\ \mathrm{mol}\approx 0{,}7173\\ \mathrm{mol}.
  • Moles de \mathrm{O_2} produzidos (metade dos mols de \mathrm{N_2O_5}):
n_{\mathrm{O_2}} = 0{,}5\times n_{\mathrm{N_2O_5}} \approx 0{,}5\times 0{,}7173 \approx 0{,}35865\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Cálculo do volume de \mathrm{O}_2 nas CNTP.
  • Nas CNTP ( 0^\circ\mathrm{C}, 1\\ \mathrm{atm} ) o volume molar é aproximadamente \;V_m = 22{,}414\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
  • Volume de \mathrm{O_2} em litros:
V = n_{\mathrm{O_2}}\times V_m \approx 0{,}35865\times 22{,}414\\ \mathrm{L}\approx 8{,}038\\ \mathrm{L}.
  • Converter para \mathrm{cm}^3 ( 1\\ \mathrm{L} = 1000\\ \mathrm{cm}^3 ):
V \approx 8{,}038\\ \mathrm{L}\times 1000\\ \frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm{L}} \approx 8{,}038\times 10^{3}\\ \mathrm{cm}^3.
  • Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (dois algarismos em k e em 80\\ \mathrm{g}), podemos reportar V\approx 8{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

t = 1,55\\ \mathrm{h}
V_{\mathrm{O_2}} = 8{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{cm}^3

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