Amortecimento Crítico e Supercrítico
Um sistema massa-mola de \mathrm{k}=40 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é ajustado de modo que o amortecimento se torne crítico.
(a) Determine o valor do coeficiente de amortecimento crítico bc.
(b) Discuta o comportamento do sistema se b>bc.

Passo 1

O enunciado dá uma mola com constante elástica \mathrm{k}=40\\ \mathrm{N/m} ligada a uma massa (mass–spring–damper). Perguntas:
  1. (a) Determinar o coeficiente de amortecimento crítico b_c.
  2. (b) Discutir o comportamento do sistema quando b>b_c.
Informações relevantes que temos do enunciado:
\mathrm{k}=40\\ \mathrm{N/m}.
Não foi dado um valor numérico para a massa m, portanto a resposta para (a) ficará em função de m (a menos que se assuma um valor para m, o que o enunciado não pediu).

Passo 2

Modelo diferencial e significado das grandezas.
O movimento livre amortecido de um sistema massa-mola-amortecedor é descrito pela equação diferencial
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0,
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • b é o coeficiente de amortecimento viscoso (em \mathrm{kg/s});
  • k é a constante da mola (em \mathrm{N/m});
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo;
  • \dot{x} e \ddot{x} são a velocidade e a aceleração.
Para resolver, usamos a equação característica associada assumindo soluções do tipo x(t)=e^{rt}:
m r^2 + b r + k = 0.
As raízes r determinam o comportamento do sistema (oscilações, amortecimento crítico, sobreamortecimento).

Passo 3

Definição de amortecimento crítico e fórmula em termos das raízes.
Amortecimento crítico ocorre justamente quando as duas raízes da equação característica se tornam iguais (raiz dupla). Isso acontece quando o discriminante da quadrática é zero:
\Delta = b^2 - 4 m k = 0.
Resolver \Delta=0 para b dá o coeficiente de amortecimento crítico.

Passo 4

Cálculo algébrico do coeficiente crítico passo a passo.
Partindo de
b^2 - 4 m k = 0,
temos
b^2 = 4 m k.
Tomando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque b é não-negativo):
b_c = 2\sqrt{m k}.
Aqui \sqrt{m k} significa a raiz quadrada do produto m (kg) vezes k (N/m), o que resulta em unidades de \mathrm{kg/s}, compatíveis com b.
Como k é conhecido ( k=40\\ \mathrm{N/m}), podemos escrever explicitamente
b_c = 2\sqrt{40\,m}.
Se, por exemplo, m=1\\ \mathrm{kg} (apenas como ilustração), então
b_c = 2\sqrt{40}\approx 12{,}65\\ \mathrm{kg/s}.
Mas essa última linha é só um exemplo: a resposta geral depende de m.

Passo 5

Interpretação física e comportamento para b>b_c.
Quando b>b_c o discriminante da equação característica é positivo:
b^2 - 4mk > 0,
portanto as raízes
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}
são duas raízes reais distintas. Como b>0 e k>0, ambas as raízes são negativas. A solução geral do movimento é
x(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t},
com constantes C_1,C_2 determinadas pelas condições iniciais.
Consequências práticas:
  • O sistema é chamado de sobreamortecido (supercrítico). Não há oscilações: x(t) decai monotonicamente para zero.
  • O retorno ao equilíbrio é mais lento do que no caso críticamente amortecido. Intuitivamente: amortecimento muito grande “suprime” as oscilações, mas impede que o sistema volte rapidamente — a solução é a soma de expoentes com decaimento lento dominado pela raiz menos negativa.
  • Para b muito grande, o movimento pode ficar muito lento (movimento quase a regime puramente dissipativo, sem oscilações).

Passo 6

Resumo rápido de como usar isso numa prova (dicas práticas).
  • Identifique o modelo m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
  • Escreva o discriminante b^2-4mk. Se quiser o coeficiente crítico, ponha igual a zero e resolva para b.
  • Lembre que b_c=2\sqrt{mk}. Se precisar de número, substitua k e m (se m não estiver no enunciado, deixe em função de m).
  • Para comparar regimes: \Delta<0 → subamortecido (oscilações amortecidas); \Delta=0 → crítico (melhor ataque sem oscilar); \Delta>0 → sobreamortecido (sem oscilações, mais lento que crítico).

Resposta

(a) b_c = 2\sqrt{m k} = 2\sqrt{40\,m}.\n(b) Para b>b_c: o sistema fica sobreamortecido (supercrítico); as raízes da característica são reais e distintas r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}, a solução é x(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t} com r_1,r_2<0, logo não há oscilações e o retorno ao equilíbrio é monotônico e mais lento que no caso crítico.

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