Amortecimento Crítico e Supercrítico
Um sistema massa-mola de
é ajustado de modo que o amortecimento se torne crítico.
(a) Determine o valor do coeficiente de amortecimento crítico bc.
(b) Discuta o comportamento do sistema se b>bc.
(a) Determine o valor do coeficiente de amortecimento crítico bc.
(b) Discuta o comportamento do sistema se b>bc.
Passo 1
O enunciado dá uma mola com constante elástica
ligada a uma massa (mass–spring–damper). Perguntas:
- (a) Determinar o coeficiente de amortecimento crítico
. - (b) Discutir o comportamento do sistema quando
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
.
Não foi dado um valor numérico para a massa , portanto a resposta para (a) ficará em função de
(a menos que se assuma um valor para
, o que o enunciado não pediu).
Não foi dado um valor numérico para a massa
Passo 2
Modelo diferencial e significado das grandezas.
O movimento livre amortecido de um sistema massa-mola-amortecedor é descrito pela equação diferencial
onde:
-
é a massa (em ); -
é o coeficiente de amortecimento viscoso (em ); -
é a constante da mola (em ); -
é o deslocamento em função do tempo; -
e são a velocidade e a aceleração.
Para resolver, usamos a equação característica associada assumindo soluções do tipo
:
As raízes
determinam o comportamento do sistema (oscilações, amortecimento crítico, sobreamortecimento).
Passo 3
Definição de amortecimento crítico e fórmula em termos das raízes.
Amortecimento crítico ocorre justamente quando as duas raízes da equação característica se tornam iguais (raiz dupla). Isso acontece quando o discriminante da quadrática é zero:
Resolver
para
dá o coeficiente de amortecimento crítico.
Passo 4
Cálculo algébrico do coeficiente crítico passo a passo.
Partindo de
temos
Tomando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque
é não-negativo):
Aqui
significa a raiz quadrada do produto
(kg) vezes
(N/m), o que resulta em unidades de
, compatíveis com
.
Como
é conhecido (
), podemos escrever explicitamente
Se, por exemplo,
(apenas como ilustração), então
Mas essa última linha é só um exemplo: a resposta geral depende de
.
Passo 5
Interpretação física e comportamento para
.
Quando
o discriminante da equação característica é positivo:
portanto as raízes
são duas raízes reais distintas. Como
e
, ambas as raízes são negativas. A solução geral do movimento é
com constantes
determinadas pelas condições iniciais.
Consequências práticas:
- O sistema é chamado de sobreamortecido (supercrítico). Não há oscilações:
decai monotonicamente para zero. - O retorno ao equilíbrio é mais lento do que no caso críticamente amortecido. Intuitivamente: amortecimento muito grande “suprime” as oscilações, mas impede que o sistema volte rapidamente — a solução é a soma de expoentes com decaimento lento dominado pela raiz menos negativa.
- Para
muito grande, o movimento pode ficar muito lento (movimento quase a regime puramente dissipativo, sem oscilações).
Passo 6
Resumo rápido de como usar isso numa prova (dicas práticas).
- Identifique o modelo
. - Escreva o discriminante
. Se quiser o coeficiente crítico, ponha igual a zero e resolva para . - Lembre que
. Se precisar de número, substitua e (se não estiver no enunciado, deixe em função de ). - Para comparar regimes:
→ subamortecido (oscilações amortecidas); → crítico (melhor ataque sem oscilar); → sobreamortecido (sem oscilações, mais lento que crítico).
Resposta
(a)
\n(b) Para
: o sistema fica sobreamortecido (supercrítico); as raízes da característica são reais e distintas
, a solução é
com
, logo não há oscilações e o retorno ao equilíbrio é monotônico e mais lento que no caso crítico.