Um engenheiro dispõe de três reservatórios térmicos a temperaturas 100 \mathrm{~K}, 200 \mathrm{~K} e 300 K , e de duas máquinas térmicas: uma executando um ciclo de Otto, e a outra executando um ciclo de Carnot. Para construir a máquina mais eficiente possível usando esse conjunto de sistemas, o engenheiro deve:
\bigcirc a. conectar as duas máquinas simultaneamente aos reservatórios de temperaturas 300 K e 100 K .
\bigcirc b. conectar a máquina de Otto aos reservatórios a 300 K e a 200 K , e usar o calor rejeitado por ela para alimentar a máquina de Carnot operando entre 200 K e 100 K .
\bigcirc c. conectar a máquina de Carnot aos reservatórios a 300 Ke a 200 K , e usar o calor rejeitado por ela para alimentar a máquina de Otto operando entre 200 K e 100 K .
\bigcirc d. descartar a máquina de Otto, e conectar a máquina de Carnot entre os reservatórios a 300 K e a 100 K .
\bigcirc e. primeiro investigar a razão de compressão da máquina de Otto, pois o rendimento dessa máquina depende desse fator.

Passo 1

O enunciado apresenta três reservatórios térmicos com temperaturas de 300 K, 200 K e 100 K, e duas máquinas: uma de Carnot (reversível) e uma de Otto (não-reversível). A questão é: qual configuração dessas máquinas resulta na maior eficiência global possível?

Passo 2

Existe uma eficiência máxima para qualquer motor térmico operando entre duas temperaturas T_h (quente) e T_c (frio), dada pela eficiência de Carnot:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde \eta é a fração do calor absorvido convertida em trabalho. Nenhum motor real pode superar essa eficiência.

Passo 3

Calculando a eficiência de Carnot diretamente entre 300 K e 100 K:
\eta_{300\to100} = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Um motor de Carnot operando entre essas temperaturas converte, no máximo, \tfrac{2}{3} (≈ 66,7%) do calor absorvido em trabalho.

Passo 4

A eficiência do ciclo de Otto depende da razão de compressão r e da razão de capacidades térmicas \gamma = C_p/C_v, expressa por:
\eta_{\text{Otto}} = 1 - r^{\,1-\gamma}.
Independentemente de r, o rendimento do Otto não excede o de Carnot entre as mesmas temperaturas:
\eta_{\text{Otto}} \le \eta_{\text{Carnot}}(T_h,T_c).
Na prática, o Otto é irreversível e tem rendimento menor.

Passo 5

Analisando a opção (b): Otto (300 K → 200 K) seguido de Carnot (200 K → 100 K). Seja \eta_O o rendimento do Otto. O calor rejeitado pelo Otto, (1-\eta_O), é fornecido ao Carnot, cujo rendimento é
\eta_{200\to100} = 1 - \frac{100}{200} = \frac{1}{2}.
O rendimento total é
\eta_{\text{total},b} = \eta_O + (1-\eta_O)\,\eta_{200\to100}.
Usando \eta_O \le \eta_{300\to200} = 1 - \frac{200}{300} = \frac{1}{3}, o máximo possível é
\eta_{\text{total},b} \le \frac{1}{3} + \left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}.
A melhor performance possível da configuração (b) é \tfrac{2}{3}, igual ao Carnot direto, e na prática será menor. Logo, (b) não supera o Carnot direto.

Passo 6

Analisando a opção (c): Carnot (300 K → 200 K) seguido de Otto (200 K → 100 K). O Carnot tem rendimento \eta_{300\to200}=\tfrac{1}{3}. O calor rejeitado vai para o Otto, cujo rendimento \eta_O' satisfaz \eta_O' \le \eta_{200\to100} = \tfrac{1}{2}. O rendimento total é
\eta_{\text{total},c} = \eta_{300\to200} + (1-\eta_{300\to200})\,\eta_O'.
Substituindo o máximo possível para \eta_O', obtemos o teto
\eta_{\text{total},c} \le \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}.
De novo, o teto é \tfrac{2}{3}, e na prática será menor. Assim, (c) também não supera o Carnot direto.

Passo 7

Analisando a opção (a): conectar as duas máquinas simultaneamente entre 300 K e 100 K. A melhor fração do calor convertido em trabalho não excede a eficiência de Carnot, \tfrac{2}{3}. Usar exclusivamente o Carnot (ou dois Carnots reversíveis em paralelo) atinge esse teto, enquanto o Otto irreversível desperdiça exergia. Logo, (a) não é melhor que usar o Carnot diretamente.

Passo 8

Sobre a opção (e): o rendimento do Otto depende da razão de compressão r, mas mesmo escolhendo a melhor r, o Otto não ultrapassa o limite de Carnot. Investigar r não altera a escolha da configuração mais eficiente.

Passo 9

Conclusão: a melhor configuração é usar a máquina de Carnot entre os reservatórios de 300 K e 100 K, atingindo a eficiência máxima possível de 1-\tfrac{100}{300}=\tfrac{2}{3}. As outras opções, com um Otto, só podem diminuir esse rendimento.

Resposta

(d)

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