Uma amostra de
de um gás ideal monoatômico de massa molar hipotética
inicialmente a uma pressão de
e uma temperatura de 300 K , é submetida a uma expansão isobárica até que seu volume seja quintuplicado. Encontre:
( 0,5 pontos) (a) O volume (
) e temperatura do gás ao final da expansão.
(0,5 pontos) (b) O trabalho feito pelo gás durante o processo acima mencionado.
Em seguida, a pressão do gás é aumentada, a temperatura constante, até que o volume original (ou seja volume do gás nas condições de
), seja novamente atingida. Encontre: ( 0,5 pontos) (c) A pressão do gás (em Pascal) após este processo.
( 0,5 pontos) (d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(0,5 pontos) (e) Mostre o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.
( 0,5 pontos) (a) O volume (
(0,5 pontos) (b) O trabalho feito pelo gás durante o processo acima mencionado.
Em seguida, a pressão do gás é aumentada, a temperatura constante, até que o volume original (ou seja volume do gás nas condições de
( 0,5 pontos) (d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(0,5 pontos) (e) Mostre o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de gás ideal monoatômico com as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
- massa da amostra:
. - massa molar:
. - pressão inicial:
. - temperatura inicial:
. - o gás sofre uma expansão isobárica (pressão constante) até o volume ficar quintuplicado.
Perguntas pedidas:
(a) Encontrar o volume final (em) e a temperatura final do gás ao fim da expansão isobárica.
(b) Calcular o trabalho feito pelo gás nesse processo isobárico.
Depois disso, mantendo a temperatura constante (ou seja, isoterma na nova temperatura), aumenta-se a pressão até que o volume volte ao valor original. Pedidos seguintes:
(c) A pressão final após esse processo (em Pascal).
(d) A quantidade de energia térmica transferida do gás durante esse processo isotérmico.
(e) Mostrar o processo inteiro em um diagramae escolher escalas adequadas.
Dados e constantes que vou usar (explicito para você não se perder):
- constante dos gases ideais:
. - conversão de pressão:
.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Calcular o número de mols da amostra — isso é fundamental para usar a equação dos gases ideais. A fórmula é:
onde
é a massa da amostra e
a massa molar (ambos nas mesmas unidades). Substituindo:
Vou usar
ou
(mesma coisa, três casas significativas).
Passo 3
Calcular o volume inicial
usando a equação dos gases ideais:
Primeiro converto
para Pascal:
Agora isolo
:
Substituindo números:
Logo
Arredondando a três dígitos significativos:
Passo 4
Como a expansão é isobárica e o volume é quintuplicado, temos:
Arredondando:
Agora a temperatura final
na expansão isobárica: pela equação dos gases ideais
e como
e
são constantes, a temperatura escala como o volume. Assim
(Resumo:
,
,
.)
Passo 5
Calcular o trabalho feito pelo gás durante a expansão isobárica. Teoria rápida: para um processo isobárico a pressão é constante, então o trabalho feito pelo gás é
Já temos
em Pascal e
. Calculo
:
Então
Arredondando a três dígitos significativos:
Interpretação física curta: esse é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente durante a expansão.
Passo 6
Agora vem a segunda etapa: a pressão do gás é aumentada mantendo a temperatura constante (ou seja, processo isotérmico) até que o volume volte ao valor original
. Vamos achar a nova pressão
. Para uma isoterma temos
constante, logo
Como
, então
Em atm fica
. Convertendo para Pascal:
Arredondando:
Passo 7
Calcular a quantidade de energia térmica transferida do gás durante o processo isotérmico (isto é, quanto de calor sai do gás). Primeira lição importante: para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como o processo é isotérmico (
constante), a variação de energia interna é
. A primeira lei da termodinâmica (na convenção que usamos aqui:
, com
trabalho realizado pelo gás) dá:
Portanto o calor trocado pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás. Agora, para um processo isotérmico reversível:
Aqui
(compressão), então
, e o trabalho do gás será negativo (o gás faz trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás). Substituindo:
Como pediram “energia térmica transferida do gás”, isto é, o calor que sai do gás (uma quantidade positiva), consideramos o módulo do calor liberado:
(Explicação intuitiva: durante a compressão isotérmica é feito trabalho sobre o gás; para manter a temperatura, o gás deve liberar calor para o ambiente.)
Agora os números: já calculamos
:
Multiplico por
(onde
):
Arredondando a três dígitos significativos:
Para clareza de sinais:
(isto é, o sistema perde calor), e o módulo do calor retirado do gás é
.
Passo 8
Desenho do processo
(instruções detalhadas para você reproduzir o esboço à mão ou no computador; escolhi escalas que mostram bem os pontos):
- Pontos importantes a plotar:
- Estado 1:
. - Estado 2:
. - Estado 3:
.
- Estado 1:
- Escalas sugeridas:
- Eixo
(horizontal): de até . Marque em e em . - Eixo
(vertical): de até . Marque em (linha horizontal) e em .
- Eixo
- Como desenhar:
- Trace uma linha horizontal (isobárica) à altura
de até . Isso representa o processo 1→2 (expansão isobárica). - Trace a curva isotérmica passando por o ponto (
) e chegando em ( ). A curva isotérmica tem a forma de (hipérbole): desenhe uma curva decrescente quando vai da direita para a esquerda (a pressão aumenta quando o volume diminui). - Indique com setas a direção: 1 → 2 ao longo da linha horizontal, e 2 → 3 ao longo da curva isotérmica para a esquerda.
- Trace uma linha horizontal (isobárica) à altura
- Observação prática: marque numericamente os pontos com os valores já calculados para facilitar conferência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Calor retirado do gás
(e) Esboço : linha horizontal isobárica a
de
a
(1→2), seguida de curva isotérmica
de (
) até (
) (2→3); eixos:
de
a
,
de
a
.
(b)
(c)
(d) Calor retirado do gás
(e) Esboço