Uma amostra de 5,00 \mathrm{~g} de um gás ideal monoatômico de massa molar hipotética \mathrm{M}=15,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} inicialmente a uma pressão de 5,00 \mathrm{~atm} e uma temperatura de 300 K , é submetida a uma expansão isobárica até que seu volume seja quintuplicado. Encontre:
( 0,5 pontos) (a) O volume ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ) e temperatura do gás ao final da expansão.
(0,5 pontos) (b) O trabalho feito pelo gás durante o processo acima mencionado.
Em seguida, a pressão do gás é aumentada, a temperatura constante, até que o volume original (ou seja volume do gás nas condições de \mathrm{P}=5,00 \mathrm{~atm}, \mathrm{e} \mathrm{T}=300 \mathrm{~K} ), seja novamente atingida. Encontre: ( 0,5 pontos) (c) A pressão do gás (em Pascal) após este processo.
( 0,5 pontos) (d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(0,5 pontos) (e) Mostre o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de gás ideal monoatômico com as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • massa da amostra: m=5{,}00\\ \mathrm{g}.
  • massa molar: M=15{,}0\\ \mathrm{g}\!/\mathrm{mol}.
  • pressão inicial: P_1=5{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • temperatura inicial: T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • o gás sofre uma expansão isobárica (pressão constante) até o volume ficar quintuplicado.
    Perguntas pedidas:
    (a) Encontrar o volume final (em \mathrm{m}^3) e a temperatura final do gás ao fim da expansão isobárica.
    (b) Calcular o trabalho feito pelo gás nesse processo isobárico.
    Depois disso, mantendo a temperatura constante (ou seja, isoterma na nova temperatura), aumenta-se a pressão até que o volume volte ao valor original. Pedidos seguintes:
    (c) A pressão final após esse processo (em Pascal).
    (d) A quantidade de energia térmica transferida do gás durante esse processo isotérmico.
    (e) Mostrar o processo inteiro em um diagrama P\!-\!V e escolher escalas adequadas.
Dados e constantes que vou usar (explicito para você não se perder):
  • constante dos gases ideais: R=8{,}314\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
  • conversão de pressão: 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o número de mols da amostra — isso é fundamental para usar a equação dos gases ideais. A fórmula é:
n=\frac{m}{M},
onde m é a massa da amostra e M a massa molar (ambos nas mesmas unidades). Substituindo:
n=\frac{5{,}00\\ \mathrm{g}}{15{,}0\\ \mathrm{g/mol}}=\frac{5{,}00}{15{,}0}=0{,}333333\ldots\\ \mathrm{mol}.
Vou usar n=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{mol} ou n=0{,}333\\ \mathrm{mol} (mesma coisa, três casas significativas).

Passo 3

Calcular o volume inicial V_1 usando a equação dos gases ideais:
P_1 V_1 = n R T_1.
Primeiro converto P_1 para Pascal:
P_1 = 5{,}00\\ \mathrm{atm} = 5{,}00\times1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=5{,}06625\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora isolo V_1:
V_1=\frac{n R T_1}{P_1}.
Substituindo números:
nR T_1=\left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot8{,}314\cdot300= \frac{8{,}314\cdot300}{3}= \frac{2494{,}2}{3}=831{,}4\\ \mathrm{J}=831{,}4\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}.
Logo
V_1=\frac{831{,}4}{5{,}06625\times10^{5}}=1{,}6407\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando a três dígitos significativos:
V_1=1{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Como a expansão é isobárica e o volume é quintuplicado, temos:
V_2=5V_1=5\cdot1{,}6407\times10^{-3}=8{,}2035\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando:
V_2=8{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Agora a temperatura final T_2 na expansão isobárica: pela equação dos gases ideais P V = n R T e como P e nR são constantes, a temperatura escala como o volume. Assim
\frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}=5 \quad\Rightarrow\quad T_2=5T_1=5\cdot300=1500\\ \mathrm{K}.
(Resumo: V_1=1{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, V_2=8{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, T_2=1500\\ \mathrm{K}.)

Passo 5

Calcular o trabalho feito pelo gás durante a expansão isobárica. Teoria rápida: para um processo isobárico a pressão é constante, então o trabalho feito pelo gás é
W_{\text{isob}}=P\Delta V = P_1 (V_2-V_1).
Já temos P_1 em Pascal e V_1,V_2. Calculo \Delta V:
\Delta V=V_2-V_1=4V_1=4\cdot1{,}6407\times10^{-3}=6{,}5628\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Então
W_{\text{isob}}=5{,}06625\times10^{5}\cdot6{,}5628\times10^{-3}=3323{,}7\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três dígitos significativos:
W_{\text{isob}}=3{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: esse é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente durante a expansão.

Passo 6

Agora vem a segunda etapa: a pressão do gás é aumentada mantendo a temperatura constante (ou seja, processo isotérmico) até que o volume volte ao valor original V_1. Vamos achar a nova pressão P_3. Para uma isoterma temos P V= constante, logo
P_2 V_2 = P_3 V_1.
Como P_2=P_1, então
P_3 = P_2\frac{V_2}{V_1}=P_1\cdot5.
Em atm fica P_3=5{,}00\\ \mathrm{atm}\times5=25{,}0\\ \mathrm{atm}. Convertendo para Pascal:
P_3=25{,}0\times1{,}01325\times10^{5}=2{,}533125\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando:
P_3=2{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Calcular a quantidade de energia térmica transferida do gás durante o processo isotérmico (isto é, quanto de calor sai do gás). Primeira lição importante: para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como o processo é isotérmico ( T constante), a variação de energia interna é \Delta U=0. A primeira lei da termodinâmica (na convenção que usamos aqui: \Delta U=Q-W, com W trabalho realizado pelo gás) dá:
0=\Delta U=Q_{\text{isot}}-W_{\text{isot}}\quad\Rightarrow\quad Q_{\text{isot}}=W_{\text{isot}}.
Portanto o calor trocado pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás. Agora, para um processo isotérmico reversível:
W_{\text{isot}}=\int_{V_2}^{V_1} P\,dV = n R T \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Aqui V_1<V_2 (compressão), então \ln(V_1/V_2)=\ln(1/5)=-\ln5, e o trabalho do gás será negativo (o gás faz trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás). Substituindo:
W_{\text{isot}}=n R T_2 \ln\!\left(\frac{1}{5}\right)=-n R T_2 \ln5.
Como pediram “energia térmica transferida do gás”, isto é, o calor que sai do gás (uma quantidade positiva), consideramos o módulo do calor liberado:
\text{Calor retirado do gás }= -Q_{\text{isot}} = -W_{\text{isot}} = n R T_2 \ln5.á
(Explicação intuitiva: durante a compressão isotérmica é feito trabalho sobre o gás; para manter a temperatura, o gás deve liberar calor para o ambiente.)
Agora os números: já calculamos nR T_2:
n R T_2 = \left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot8{,}314\cdot1500 = 4157{,}0\\ \mathrm{J}.
Multiplico por \ln5 (onde \ln5\approx1{,}60944):
n R T_2 \ln5 = 4157{,}0\cdot1{,}60944=6693{,}2\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três dígitos significativos:
\text{Calor retirado do gás}=6{,}69\times10^{3}\\ \mathrm{J}.á
Para clareza de sinais: Q_{\text{isot}}=W_{\text{isot}}=-6{,}69\times10^{3}\\ \mathrm{J} (isto é, o sistema perde calor), e o módulo do calor retirado do gás é 6{,}69\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Desenho do processo P\!-\!V (instruções detalhadas para você reproduzir o esboço à mão ou no computador; escolhi escalas que mostram bem os pontos):
  • Pontos importantes a plotar:
    • Estado 1: (V_1,P_1)=(1{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},\\\ 5{,}06625\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
    • Estado 2: (V_2,P_2)=(8{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},\\\ 5{,}06625\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
    • Estado 3: (V_1,P_3)=(1{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},\\\ 2{,}533125\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}).
  • Escalas sugeridas:
    • Eixo V (horizontal): de 0 até 9{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. Marque V_1 em 1{,}64\times10^{-3} e V_2 em 8{,}20\times10^{-3}.
    • Eixo P (vertical): de 0 até 2{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Marque P_1=P_2 em 5,07\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (linha horizontal) e P_3 em 2,53\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Como desenhar:
    1. Trace uma linha horizontal (isobárica) à altura P_1 de V_1 até V_2. Isso representa o processo 1→2 (expansão isobárica).
    2. Trace a curva isotérmica passando por o ponto ( V_2,P_1 ) e chegando em ( V_1,P_3 ). A curva isotérmica tem a forma de P\propto1/V (hipérbole): desenhe uma curva decrescente quando vai da direita para a esquerda (a pressão aumenta quando o volume diminui).
    3. Indique com setas a direção: 1 → 2 ao longo da linha horizontal, e 2 → 3 ao longo da curva isotérmica para a esquerda.
  • Observação prática: marque numericamente os pontos com os valores já calculados para facilitar conferência.

Resposta

(a) V_2=8{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3};\quad T_2=1500\\ \mathrm{K}.
(b) W_{\text{isob}}=3{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(c) P_3=2{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
(d) Calor retirado do gás =6{,}69\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(e) Esboço P\!-\!V: linha horizontal isobárica a P_1=5{,}07\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} de V_1=1{,}64\times10^{-3} a V_2=8{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} (1→2), seguida de curva isotérmica P\propto1/V de ( V_2,P_1 ) até ( V_1,P_3=2{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} ) (2→3); eixos: V de 0 a 9{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, P de 0 a 2{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

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