( 1,5 pontos) (a) Dentro de um recipiente isolado, qual é a quantidade mínima de gelo a
a ser adicionados a 600 g de água a
para ter uma mistura de gelo-água a
?
(1,5 ponto) (b) Qual é a variação da entropia do sistema isolado após que a mistura na letra (a) estará em equilíbrio térmico?
Dados: Cágua
(1,5 ponto) (b) Qual é a variação da entropia do sistema isolado após que a mistura na letra (a) estará em equilíbrio térmico?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A quantidade mínima de gelo a
que devemos adicionar a de água a num recipiente isolado, de modo que o sistema chegue a uma mistura água–gelo a . - (b) A variação de entropia do sistema isolado quando essa mistura da letra (a) atingir o equilíbrio térmico.
Informações fornecidas (vou listar tudo, com unidades):
Observação importante sobre o que significa “quantidade mínima de gelo”: como o gelo está a
, o calor cedido pela água quente será usado para fundir parte do gelo. Se a massa de gelo adicionada for exatamente igual à massa que se funde com o calor disponível, todo o gelo se funde e o sistema fica somente água a
(sem mistura). Para garantir uma mistura água–gelo a
precisa haver pelo menos essa massa teórica de gelo; a resposta usual é calcular a massa que corresponde ao gelo que seria fundido pelo calor liberado pela água. A contabilidade de energia é suficiente para determinar essa massa.
Passo 2
Princípio de conservação de energia (primeira lei da termodinâmica, para sistema isolado): o calor perdido pela água quente ao esfriar de
até
é igual ao calor absorvido para fundir parte do gelo (assumindo que o gelo permanece a
e que não há outras trocas de calor).
Fórmula do calor cedido pela água ao variar sua temperatura (calor sensível):
Aqui
é a massa da água que esfria,
é a capacidade térmica (calor específico) da água e
é a variação de temperatura em kelvin. Nota: como estamos usando diferença de temperatura, °C e K têm mesma diferença numérica; para fórmulas de energia é obrigatório usar K quando aparecer temperatura absoluta (por exemplo, ao calcular entropia), mas para diferenças podemos usar os valores numéricos das diferenças em °C.
A massa de gelo que se funde
consome calor igual a
onde
é o calor latente de fusão por unidade de massa.
Pelo balanço de energia:
A massa mínima de gelo a ser adicionada para que ainda exista gelo na mistura é, na prática, essa massa que pode ser fundida pelo calor liberado. Se adicionarmos exatamente essa massa, todo o gelo seria fundido e ficaríamos só com água a
; para garantir mistura basta ter pelo menos essa massa. Portanto vamos calcular
Passo 3
Calcule o calor cedido pela água ao esfriar de
para
:
Passo 4
Calcule a massa de gelo que pode ser fundida com esse calor:
Convertendo para gramas:
.
Conclusão prática: se adicionarmos pelo menos
de gelo a
, o calor liberado pela água (ao esfriar até
) não será suficiente para fundir todo o gelo adicionado, e o sistema final será realmente uma mistura água–gelo a
. (Se adicionarmos exatamente essa massa, toda essa parte se funde e o restante do gelo — se houver mais — fica sólido; se adicionarmos exatamente essa massa e nada mais, tecnicamente todo esse gelo se funde e ficaríamos só com água a
. Para garantir mistura, basta adicionar um pouquinho mais que esse valor; nos exercícios costuma-se mostrar o valor calculado como “massa mínima” para o balanço.)]
Passo 5
Agora vamos calcular a variação de entropia do sistema isolado quando a mistura estiver em equilíbrio térmico. Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando com calma):
- A variação de entropia de um corpo que troca calor de forma reversível enquanto sua temperatura varia de
para é
Para um corpo com calor específico constante
e massa
,
, logo
Aqui as temperaturas devem estar em kelvin.
- A variação de entropia associada à fusão de uma massa
de gelo a temperatura constante (processo de mudança de fase reversível) é
com
em kelvin (aqui
).
No nosso problema isolado só há duas trocas relevantes de calor:
- Água quente (massa
) esfria de para : tem variação de entropia . - Uma massa
de gelo funde a : variação .
Não há troca de calor com o ambiente (recipiente isolado) e o restante do gelo que não funde permanece a
sem absorver calor, logo não contribui para variação de entropia (pois não troca calor).
A variação total de entropia do sistema isolado é:
Passo 6
Calcule
usando a fórmula com
constante:
Primeiro a razão de temperaturas:
Agora o produto:
Portanto a água perde entropia (sinal negativo) ao esfriar.]
Passo 7
Calcule a variação de entropia associada à fusão da massa
:
Observação: note que
, conforme balanço de energia; ao dividir por
obtemos a entropia absorvida durante a fusão.]
Passo 8
Some as duas contribuições para obter a variação total de entropia:
O valor é positivo, como esperado para um processo espontâneo irreversível num sistema isolado (ou no mínimo não-contraditório com a segunda lei): a entropia total do sistema isolado não diminui.
Resposta
(a)
\newline
(b)
(b)