( 1,5 pontos) (a) Dentro de um recipiente isolado, qual é a quantidade mínima de gelo a 0,00^{\circ} \mathrm{C} a ser adicionados a 600 g de água a 25,0^{\circ} \mathrm{C} para ter uma mistura de gelo-água a 0,00^{\circ} \mathrm{C} ?
(1,5 ponto) (b) Qual é a variação da entropia do sistema isolado após que a mistura na letra (a) estará em equilíbrio térmico?
Dados: Cágua =4189 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mathrm{C}_{\text {gelo }}=2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mathrm{L}_{\text {fusão da água }}=333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}ãá

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A quantidade mínima de gelo a 0,00^\circ\mathrm{C} que devemos adicionar a 600\\ \mathrm{g} de água a 25,0^\circ\mathrm{C} num recipiente isolado, de modo que o sistema chegue a uma mistura água–gelo a 0,00^\circ\mathrm{C}.
  2. (b) A variação de entropia do sistema isolado quando essa mistura da letra (a) atingir o equilíbrio térmico.
Informações fornecidas (vou listar tudo, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Massa da água quente: } m_{\text{água}} = 600\\ \mathrm{g} = 0{,}600\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{Temperatura inicial da água: } T_i = 25{,}0^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura final desejada: } T_f = 0{,}00^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Capacidade térmica da água: } C_{\text{água}} = 4189\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\text{Capacidade térmica do gelo (dado, não será necessária para variar a \(T\) do gelo já a \(0^\circ\mathrm{C}\)): } C_{\text{gelo}} = 2220\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\ &\text{Calor latente de fusão da água: } L_f = 333\ \mathrm{kJ/kg} = 333000\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}áááéááéãáááãá
Observação importante sobre o que significa “quantidade mínima de gelo”: como o gelo está a 0{,}00^\circ\mathrm{C}, o calor cedido pela água quente será usado para fundir parte do gelo. Se a massa de gelo adicionada for exatamente igual à massa que se funde com o calor disponível, todo o gelo se funde e o sistema fica somente água a 0^\circ\mathrm{C} (sem mistura). Para garantir uma mistura água–gelo a 0^\circ\mathrm{C} precisa haver pelo menos essa massa teórica de gelo; a resposta usual é calcular a massa que corresponde ao gelo que seria fundido pelo calor liberado pela água. A contabilidade de energia é suficiente para determinar essa massa.

Passo 2

Princípio de conservação de energia (primeira lei da termodinâmica, para sistema isolado): o calor perdido pela água quente ao esfriar de T_i até T_f é igual ao calor absorvido para fundir parte do gelo (assumindo que o gelo permanece a 0^\circ\mathrm{C} e que não há outras trocas de calor).
Fórmula do calor cedido pela água ao variar sua temperatura (calor sensível):
Q_{\text{cedido}} = m_{\text{água}} \, C_{\text{água}} \, (T_i - T_f).áá
Aqui m_{\text{água}}á é a massa da água que esfria, C_{\text{água}}á é a capacidade térmica (calor específico) da água e (T_i-T_f) é a variação de temperatura em kelvin. Nota: como estamos usando diferença de temperatura, °C e K têm mesma diferença numérica; para fórmulas de energia é obrigatório usar K quando aparecer temperatura absoluta (por exemplo, ao calcular entropia), mas para diferenças podemos usar os valores numéricos das diferenças em °C.
A massa de gelo que se funde m_{\text{fundida}} consome calor igual a
Q_{\text{absorvido}} = m_{\text{fundida}} \, L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão por unidade de massa.
Pelo balanço de energia:
m_{\text{água}} \, C_{\text{água}} \, (T_i - T_f) = m_{\text{fundida}} \, L_f.áá
A massa mínima de gelo a ser adicionada para que ainda exista gelo na mistura é, na prática, essa massa que pode ser fundida pelo calor liberado. Se adicionarmos exatamente essa massa, todo o gelo seria fundido e ficaríamos só com água a 0^\circ\mathrm{C}; para garantir mistura basta ter pelo menos essa massa. Portanto vamos calcular
m_{\text{fundida}} = \frac{m_{\text{água}} \, C_{\text{água}} \, (T_i - T_f)}{L_f}.áá

Passo 3

Calcule o calor cedido pela água ao esfriar de 25{,}0^\circ\mathrm{C} para 0{,}00^\circ\mathrm{C}:
\begin{aligned} Q_{\text{cedido}} &= m_{\text{água}} \, C_{\text{água}} \, (T_i - T_f)\\[4pt] &= 0{,}600\\ \mathrm{kg} \times 4189\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times (25{,}0\\ \mathrm{K})\\[4pt] &= 0{,}600 \times 4189 \times 25\\[4pt] &= 62835\\ \mathrm{J}. \end{aligned}áá]

Passo 4

Calcule a massa de gelo que pode ser fundida com esse calor:
\begin{aligned} m_{\text{fundida}} &= \frac{Q_{\text{cedido}}}{L_f}\\[4pt] &= \frac{62835\\ \mathrm{J}}{333000\\ \mathrm{J/kg}}\\[4pt] &\approx 0{,}1887\\ \mathrm{kg}. \end{aligned}
Convertendo para gramas: m_{\text{fundida}}\approx 188{,}7\\ \mathrm{g}.
Conclusão prática: se adicionarmos pelo menos 0{,}1887\\ \mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm{C}, o calor liberado pela água (ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}) não será suficiente para fundir todo o gelo adicionado, e o sistema final será realmente uma mistura água–gelo a 0^\circ\mathrm{C}. (Se adicionarmos exatamente essa massa, toda essa parte se funde e o restante do gelo — se houver mais — fica sólido; se adicionarmos exatamente essa massa e nada mais, tecnicamente todo esse gelo se funde e ficaríamos só com água a 0^\circ\mathrm{C}. Para garantir mistura, basta adicionar um pouquinho mais que esse valor; nos exercícios costuma-se mostrar o valor calculado como “massa mínima” para o balanço.)]

Passo 5

Agora vamos calcular a variação de entropia do sistema isolado quando a mistura estiver em equilíbrio térmico. Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando com calma):
  • A variação de entropia de um corpo que troca calor de forma reversível enquanto sua temperatura varia de T_i para T_f é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um corpo com calor específico constante C e massa m, \delta Q_{\text{rev}} = m C\, dT, logo
\Delta S = m C \int_{T_i}^{T_f} \frac{dT}{T} = m C \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui as temperaturas devem estar em kelvin.
  • A variação de entropia associada à fusão de uma massa m_{\text{fundida}} de gelo a temperatura constante T (processo de mudança de fase reversível) é
\Delta S_{\text{fusão}} = \frac{Q_{\text{absorvido}}}{T} = \frac{m_{\text{fundida}}\, L_f}{T},ã
com T em kelvin (aqui T=273{,}15\\ \mathrm{K}).
No nosso problema isolado só há duas trocas relevantes de calor:
  1. Água quente (massa m_{\text{água}}=0{,}600\\ \mathrm{kg}á) esfria de T_i=298{,}15\\ \mathrm{K} para T_f=273{,}15\\ \mathrm{K}: tem variação de entropia \Delta S_{\text{água}}á.
  2. Uma massa m_{\text{fundida}}=0{,}1887\\ \mathrm{kg} de gelo funde a T=273{,}15\\ \mathrm{K}: variação \Delta S_{\text{gelo}\to\text{água}}á.
Não há troca de calor com o ambiente (recipiente isolado) e o restante do gelo que não funde permanece a 0^\circ\mathrm{C} sem absorver calor, logo não contribui para variação de entropia (pois não troca calor).
A variação total de entropia do sistema isolado é:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{água}} + \Delta S_{\text{fusão}}.áã

Passo 6

Calcule \Delta S_{\text{água}}á usando a fórmula com C constante:
\begin{aligned} \Delta S_{\text{água}} &= m_{\text{água}}\, C_{\text{água}} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\\[4pt] &= 0{,}600\\ \mathrm{kg} \times 4189\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times \ln\!\left(\frac{273{,}15}{298{,}15}\right). \end{aligned}ááá
Primeiro a razão de temperaturas:
\frac{273{,}15}{298{,}15}\approx 0{,}9160,\qquad \ln(0{,}9160)\approx -0{,}0874.
Agora o produto:
\Delta S_{\text{água}} \approx 0{,}600 \times 4189 \times (-0{,}0874) \approx -219{,}7\\ \mathrm{J/K}.á
Portanto a água perde entropia (sinal negativo) ao esfriar.]

Passo 7

Calcule a variação de entropia associada à fusão da massa m_{\text{fundida}}:
\begin{aligned} \Delta S_{\text{fusão}} &= \frac{m_{\text{fundida}}\, L_f}{T}\\[4pt] &= \frac{0{,}1887\\ \mathrm{kg} \times 333000\\ \mathrm{J/kg}}{273{,}15\\ \mathrm{K}}\\[4pt] &\approx \frac{62835\\ \mathrm{J}}{273{,}15\\ \mathrm{K}} \approx 230{,}1\\ \mathrm{J/K}. \end{aligned}ã
Observação: note que m_{\text{fundida}}\,L_f = Q_{\text{cedido}}, conforme balanço de energia; ao dividir por T obtemos a entropia absorvida durante a fusão.]

Passo 8

Some as duas contribuições para obter a variação total de entropia:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{água}} + \Delta S_{\text{fusão}} \approx -219{,}7\\ \mathrm{J/K} + 230{,}1\\ \mathrm{J/K} \approx 10{,}4\\ \mathrm{J/K}.áã
O valor é positivo, como esperado para um processo espontâneo irreversível num sistema isolado (ou no mínimo não-contraditório com a segunda lei): a entropia total do sistema isolado não diminui.

Resposta

(a) m_{\text{gelo}}\approx0{,}189\\ \mathrm{kg} \newline
(b) \Delta S_{\text{total}}\approx10{,}4\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados