03.(Valor: 2.5) O potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilíndricas, é dado por
, onde
é uma constante e
. Determine o vetor campo magnético
.
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial
é:
.
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas e pede o campo magnético resultante. Dados importantes:
- O potencial vetor tem apenas componente azimutal:
, onde é uma constante e . - Devemos calcular
. - A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas fornecida é:
Passo 2
Identifico as componentes do potencial vetor
em coordenadas cilíndricas:
Explicação: o enunciado dá explicitamente só
; as outras componentes são nulas.
Passo 3
Vou aplicar a fórmula do rotacional componente a componente substituindo
por
. Escrevo as expressões que vou calcular:
Lembrete didático: cada derivada parcial trata as outras coordenadas como constantes (por exemplo, ao derivar em
mantenho
fixo).
Passo 4
Calculo a componente radial
.
- O primeiro termo
é zero porque . - O segundo termo é
. Faço a derivada:
pois
é tratado como constante ao derivar em
e
. Portanto
Passo 5
Calculo a componente azimutal
.
Como
e
, ambos os termos são zero. Logo
Passo 6
Calculo a componente axial
.
O segundo termo é zero porque
. Para o primeiro termo:
Agora derivo em
:
Dividindo por
dá
Passo 7
Monto o vetor campo magnético juntando as componentes nas direções unitárias cilíndricas
:
Posso simplificar escrevendo