03.(Valor: 2.5) O potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilíndricas, é dado por A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z, onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}. Determine o vetor campo magnético \vec{B}(\vec{r}).
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial \vec{F} é: \vec{\nabla} \times \vec{F}=\left[\frac{1}{r} \frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right] \hat{r}+\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right] \hat{\varphi}+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r F_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi}\right] \hat{z}.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas e pede o campo magnético resultante. Dados importantes:
  • O potencial vetor tem apenas componente azimutal: A_{\varphi}=\tfrac{1}{2} B r z, onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Devemos calcular \vec{B}(\vec{r})=\vec{\nabla}\times\vec{A}.
  • A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas fornecida é:
\vec{\nabla} \times \vec{F}=\left[\frac{1}{r} \frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right] \hat{r}+\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right] \hat{\varphi}+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r F_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi}\right] \hat{z}.

Passo 2

Identifico as componentes do potencial vetor \vec{A} em coordenadas cilíndricas:
A_{r}=0,\qquad A_{\varphi}=\tfrac{1}{2}B r z,\qquad A_{z}=0.
Explicação: o enunciado dá explicitamente só A_{\varphi}; as outras componentes são nulas.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula do rotacional componente a componente substituindo F por A. Escrevo as expressões que vou calcular:
(\nabla\times A)_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r},
(\nabla\times A)_{\varphi}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r},
(\nabla\times A)_{z}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\big(r A_{\varphi}\big)}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}\right].
Lembrete didático: cada derivada parcial trata as outras coordenadas como constantes (por exemplo, ao derivar em r mantenho z fixo).

Passo 4

Calculo a componente radial (\nabla\times A)_{r}.
  • O primeiro termo \frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi} é zero porque A_{z}=0.
  • O segundo termo é -\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}. Faço a derivada:
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\tfrac{1}{2}B r z\right)=\tfrac{1}{2}B z\cdot\frac{\partial r}{\partial r}=\tfrac{1}{2}B z,
pois z é tratado como constante ao derivar em r e \partial r/\partial r=1. Portanto
(\nabla\times A)_{r}=-\tfrac{1}{2}B z.

Passo 5

Calculo a componente azimutal (\nabla\times A)_{\varphi}.
(\nabla\times A)_{\varphi}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r}.
Como A_{r}=0 e A_{z}=0, ambos os termos são zero. Logo
(\nabla\times A)_{\varphi}=0.

Passo 6

Calculo a componente axial (\nabla\times A)_{z}.
(\nabla\times A)_{z}=\frac{1}{r}\frac{\partial\big(r A_{\varphi}\big)}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}.
O segundo termo é zero porque A_{r}=0. Para o primeiro termo:
r A_{\varphi}=r\cdot\left(\tfrac{1}{2}B r z\right)=\tfrac{1}{2}B r^{2} z.
Agora derivo em r:
\frac{\partial\big(r A_{\varphi}\big)}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\tfrac{1}{2}B r^{2} z\right)=\tfrac{1}{2}B\cdot 2r z = B r z.
Dividindo por r
(\nabla\times A)_{z}=\frac{1}{r}\cdot (B r z)=B z.

Passo 7

Monto o vetor campo magnético juntando as componentes nas direções unitárias cilíndricas \hat{r},\hat{\varphi},\hat{z}:
\vec{B}(\vec{r})=\left(-\tfrac{1}{2}B z\right)\hat{r}+0\cdot\hat{\varphi}+\left(B z\right)\hat{z}.
Posso simplificar escrevendo
\vec{B}(\vec{r})=-\tfrac{1}{2}B z\,\hat{r}+B z\,\hat{z}=B z\left(-\tfrac{1}{2}\hat{r}+\hat{z}\right).

Resposta

\displaystyle \vec{B}(\vec{r})=-\tfrac{1}{2}B z\,\hat{r}+B z\,\hat{z}

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